python最小二乘法拟合检验

本篇的主要内容：

• 介绍Scipy中optimize模块的leastsq函数

最近接触到了Scipy中optimize模块的一些函数，optimize模块中提供了很多数值优化算法，其中，最小二乘法可以说是最经典的数值优化技术了， 通过最小化误差的平方来寻找最符合数据的曲线。在optimize模块中，使用leastsq（）函数可以很快速地使用最小二乘法对数据进行拟合。

首先来看leastsq（）函数地调用格式：

leastsq(func, 
        x0,
        args=(),
        Dfun=None,
        full_output=0,
        col_deriv=0,
        ftol=1.49012e-08,
        xtol=1.49012e-08,
        gtol=0.0,
        maxfev=0,
        epsfcn=0.0,
        factor=100,
        diag=None,
        warning=True)

参数还是非常多的，一般来说，我们只需要前三个参数就够了他们的作用分别是：

• func：误差函数
• x0：表示函数的参数
• args（）表示数据点

举个例子：
这里要进行拟合的数据点都分布在这条正弦曲线附近：

def func(x):
    return 2*np.sin(2*np.pi*x)

然后定义误差函数，所谓误差就是指我们拟合的曲线的值对应真实值的差：

def residuals(p, x, y):
    fun = np.poly1d(p)    # poly1d（）函数可以按照输入的列表p返回一个多项式函数
    return y - fun(x)   # 返回真实值 与我们拟合的曲线上对应的值的差

这里设计了一个poly1d（）函数，关于这个函数，简单理解下就是输入一个列表，返回以这个列表中的值为参数的多项式，例如：

输入：[1,2,3]
返回：x^2 + 2x + 3
多项式的次数是从0开始记的，要注意这个地方

下面定义关于拟合的曲线的函数：

# 拟合函数
def fitting(p):
    pars = np.random.rand(p+1)  # 生成p+1个随机数的列表，这样poly1d函数返回的多项式次数就是p
    r = leastsq(residuals, pars, args=(X, Y))   # 三个参数：误差函数、函数参数列表、数据点
    return r

注释里的内容就是要注意的地方，由于会多次调用拟合，多以写成了函数的形式，这里传入的p是一个数字，表示我们想要得到拟合曲线的次数，比如我想针对这些数据点得到一条3次的曲线，就调用p=3类似，注意这里leastsq（）函数的返回值，这里的返回值保存的是拟合的曲线的信息，如果打印这里的r，就会发现返回了一个truple，其中第一维是一个列表，保存的是拟合的曲线的参数，所以要注意如何获得这些参数。
接下来定义一下我们要进行拟合的数据点，这里定义了10个：

# 要进行拟合的数据点
X = np.linspace(0, 1, 10)
Y = [np.random.normal(0, 0.1)+num for num in func(X)]  # 添加噪声

# 方便绘制曲线，所以创建多一些点
x_ = np.linspace(0, 1, 100)
y_ = func(x_)

调用拟合函数，并进行绘图：

fit_pars = fitting(3)[0]    # 注意返回值中的第一行才是拟合曲线的参数列表

plt.plot(x_, y_, label='real line')
plt.scatter(X, Y, label='real points')
plt.plot(x_, np.poly1d(fit_pars)(x_), label='fitting line')
plt.legend()
plt.show()

p=3的时候的图像：

当然，这里我直接传入p=3，也就是建立3次的曲线对数据点进行拟合，如果传入的p=1的时候，图像如下：

如果p=2，则是：

可以看到没有变化，也就是说没办法找到一条二次曲线，使得二次误差少于上面的一次曲线了。

完整代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import matplotlib.pyplot as plt

# 数据点分布在这条曲线附近
def func(x):
    return 2*np.sin(2*np.pi*x)

# 误差函数， 计算拟合曲线与真实数据点之间的差 ，作为leastsq函数的输入
def residuals(p, x, y):
    fun = np.poly1d(p)    # poly1d（）函数可以按照输入的列表p返回一个多项式函数
    return y - fun(x)

# 拟合函数
def fitting(p):
    pars = np.random.rand(p+1)  # 生成p+1个随机数的列表，这样poly1d函数返回的多项式次数就是p
    r = leastsq(residuals, pars, args=(X, Y))   # 三个参数：误差函数、函数参数列表、数据点
    return r

# 要进行拟合的数据点
X = np.linspace(0, 1, 10)
Y = [np.random.normal(0, 0.1)+num for num in func(X)]  # 添加噪声

# 方便绘制曲线，所以创建
x_ = np.linspace(0, 1, 100)
y_ = func(x_)

# print(fitting(3))   可以看一下返回的是什么
fit_pars = fitting(3)[0]

plt.plot(x_, y_, label='real line')
plt.scatter(X, Y, label='real points')
plt.plot(x_, np.poly1d(fit_pars)(x_), label='fitting line')
plt.legend()
plt.show()

以上~