前提
一维的无人机系统，考虑起点的状态以及终点的状态，所以只考虑一个X轴，考虑这个轴上的参数的变化。现将X(t)进行多项式的参数化。最高次数可以自己选择，看提供的自由度。
通过初始条件来求得以上方程的解，但是因为给出的两个解，最后肯定会求得很多的解，那么困难的一点就是如何从所得的解当中求得一个最优的解。
翻译成人话就是：给定两个状态，初始状态与末尾状态，怎么去得到这两个状态之间的连线，轨迹生成的有关问题。方法：最优控制当中的最小值原理
这也是一个现代的变分法，是一种很成熟的解决控制问题的方法，具体步骤如下：
- 构建哈密顿函数
- 构建正则方程组
- 最小值原理
- 相轨迹分析
- 确定最优量
哈密顿函数的构造，看性能指标，引入拉格朗日乘子，此性能指标综合了拉格朗日性能指标以及梅耶性能指标。
在最优控制当中，最小值原理是包括终端的状态以及状态转移当中的一个能量的损耗。
这就是极小值原理当中的正则方程组。
这上面的PPT可能不太好理解，我把最优控制教材中的PPT放出来应该就会好理解一点。
这两个表达式就是上方刚刚所得的求偏导的表达式，也称作是正则方程组。
不太理解的小伙伴可以去看一下王青老师的《最优控制》教材。
Equation
现在的性能指标相比上述的波尔扎型性能指标少掉了终端的状态，因为无论如何这个系统都是要到达终端状态的，所以这是一个硬约束，所以不写h，如果到达了终点，h是0的，如果没到，h是无穷大的。
Solving
关于lambda的那一组状态空间的解是如何解出的，因为lambda的偏导数是(0,-lambda1,-lambda2)，所以可知lambda1的偏导为0，所以积分，得到lambda1=a(记作a)，再代入到lambda2当中，lambda2的导数等于-lambda1，所以就再两边积分，得到lambda2=-at+c1(c1为常数)，依次类推就可以推出lambda3，就可得到lambda(t)的状态空间解。
写成lambda(t)的那种形式，是因为后面求解起来更方便，其实都是一样的。
之前求lambda当中的常数是要通过边界条件进行求解的，但是现在没有h，是不可导的，所以只能通过其他的条件进行求解。
而且还已知了s的导数，所以可以对s进行积分，把s的表达式给确定出来。仔代入s0的初始条件，就可以得出s的最优解。
现在关于J，是一个包含T的多项式，所以可以对T一直进行求导，最后肯定会得到一个T的最优解，
这一步是最复杂的求T得操作。
Application
无人机计算最优的轨迹。
无人车是没有侧滑的轨迹。
工程上常用–Trajectory Library
从轨迹库当中生成一系列段轨迹，然后再根据回报进行打分，看看哪个轨迹通过我们这个打分函数能得到一个最小的代价，之后再选择所需要的轨迹去执行就是了。
启发式函数的加入
不考虑障碍物，只考虑两点的距离。
在A*当中的启发式函数算的cost是隔点与隔点之间的距离，而现在因为考虑机器人运动学模型，cost就是要考虑结点与结点之间的feasible motion connections。
Planning in Frenet-serret Frame
自动驾驶当中的常用算法。
同样的可以使用OBVP最优控制的方法来解决。
