李宏毅的机器学习讲了无监督学习么 李宏毅classification课程笔记

文章目录

• 1 Classification as Regression？
• 2 Class as one-hot vector
• 3 Classification with softmax

• 3.1 Softmax

• 4 Loss of Classification

1 Classification as Regression？

我们已经知道，Regression就是输入一个向量，然后输出一个数值，我们希望输出的数值跟某一个label，也就是我们要学习的目标，越接近越好。

现在问题来到了如何做Classification，那一个很自然的想法就是：可不可以用Regression来处理Classification的问题呢？

有这样一个非常naive的想法，那就是假设我们用Regression的方法后输出的值比较接近1，就说明是Class1，比较接近2，就说明是Class2，以此类推。这样就可以用Regression的方法完成Classification的任务。

但是这会是一个好方法吗，如果你仔细想想的话，答案可能是否定的。

因为如果你假设说Class one就是编号1，Class two就是编号2，Class3就是编号3，意味着你觉得Class1跟Class2比较像，然后Class1跟Class3它是比较不像。假如真的是有这种关系的话，比如Class1 2 3是一年级，二年级，三年级，那可能一年级真的跟二年级关系比较接近，而跟三年级比较远；但如果你的三个Class本身并没有什么特定的关系，那使用这种方法就可能带来一些意外的结果。

所有对于这种互相之间没有关系的Class进行区分，我们可以使用one-hot编码的方法。

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2 Class as one-hot vector

One-Hot 编码，又称为一位有效编码，主要是采用N位状态寄存器来对N个状态进行编码，每个状态都由他独立的寄存器位，并且在任意时候只有一位有效。

如果有三个Class，我们把Class1编码为$\begin{bmatrix}{1} \\\ {0}\\\ {0}\end{bmatrix}$，如果是Class2编码为$\begin{bmatrix} {0}\\\ {1}\\\ {0}\end{bmatrix}$，如果是Class3编码为$\begin{bmatrix} {0}\\\ {0}\\\ {1}\end{bmatrix}$，每一个Class，都用一个 One-hot vector 来表示。

使用One-hot vector的表示方式，就可以看到这些Class两两之间的的距离都是一样的，这就保证了这些Class之间并没有相关性，

如果我们今天的目标y hat是一个向量 比如说,ŷ是有三个element的向量，那我们的network,也应该要Output的维度也是三个数字才行

到目前为止我们所讲的network，其实都只Output一个数值，因为我们过去做的都是Regression的问题，所以只Output一个数字，但其实从一个数值改到三个数值，本质上是没有什么不同的，你可以Output一个数值，那么把本来Output一个数值的方法重复三次，你就可以Output三个数值。

所以你就可以Input一个feature的Vector，然后产生$y_1$，$y_2$，$y_3$，然后希望$\begin{bmatrix}{y_1} \\\ {y_2}\\\ {y_3}\end{bmatrix}$跟我们的目标类的向量表示越接近越好（就比如$\begin{bmatrix}{1} \\\ {0}\\\ {0}\end{bmatrix}$）。

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3 Classification with softmax

在Regression的过程中，我们输入一个 $x$，输出一个 $y$，希望这个 $y$

那在Classification的过程中，输入一个 $x$，输出一个 $y$，这个 $y$ 现在不是一个数值，而是一个向量，再和目标向量比较之前，我们往往还会把y再通过一个叫做Soft-max的function得到y’，然后我们才去计算y’ 和目标向量之间的距离。

那为什么要加上Soft-max呢，一个比较简单的解释是这样的，由于这个目标向量是这个 ŷ 是One-hot vector，所有它里面的值都是0或1，但是我们的 $y$

那既然我们的目标只有0跟1，我们把 $y$ 也Normalize到0到1之间，这样才好跟 label 计算相似度。

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3.1 Softmax

这个是Soft-max的block，输入 $y_1$ $y_2$ $y_3$，它会产生 $y_1$ $y_2$ $y_3$：

它里面运作的模式是这个样子的：
$y_i$
举一个简单的例子来看可能更加直观：

原本输入的 $y_1 = 3$ $y_2 = 1$ $y_3 = -3$，最后输出了 $y_1$ $y_2$ $y_3$。

可以看到这个Softmax可以把输出全部变为变成0到1之间，并且他们的和为1，除此之后，它还有一个附带的效果：它会让大的值跟小的值的差距更大，就比如原本输入的-3，最后得到的输出趋近于0。

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4 Loss of Classification

最终我们需要计算 y’ 跟 ŷ 之间的距离来评判分类器做出的判断是否准确，而对于这个所谓的距离，其实有许多定义，举例来说，我们可以让这个距离是Mean Square Error（MSE）
$e=\sum_i(\hat{y_i}-y_i$
但在分类问题中一个更常用的定义叫做Cross-entropy：
$e=-\sum_i\hat{y_i}\ln{y_i$
这个Cross-entropy的式子看起来感觉有点匪夷所思，为什么有这么奇怪的式子出现呢？

事实上，Make Minimize Cross-entropy 其实就是 maximize likelihood，这是从概率论和数理统计上可以证明的。接下来还是通过举例子的方式，从optimization的角度，来说明相对于Mean Square Error，Cross-entropy为什么更常用在分类问题上。

假设现在我们要做一个3个Class的分类

我们现在假设$y_1$的变化是从-10到10，$y_2$的变化也是从-10到10，$y_3$我们就固定设成-1000，因为$y_3$是一个常量，我们只看$y_1$跟$y_2$有变化的时候，对我们的Loss有怎样的影响。

左下方的图是使用 Mean square error 情况下画出的Error surface，右下方的图是使用 Cross-entropy 的时候画出来的Error surface：

我们用红色表示Loss大，蓝色表示Loss小，可以看到这两个图都是左上角Loss大，右下角Loss小，因为右下角代表我们的$y_1$接近1，而$y_2$接近0，这与我们的目标label是最接近的。假设我们的训练都是从左上角开始的。

• 如果我们选择 Cross-Entropy，可以看到左上角的地方是有斜率的，所以我们可以通过 Gradient Descent 的方法慢慢往右下的地方走，最终走到Loss很小的地方。
• 但如果我们选择的是Mean square error的话，很可能刚开始就卡住了，Mean square error 在这种 Loss 很大的地方是非常平坦的，它的gradient非常小，我们可能就没有办法用 Gradient Descentt 顺利的走到右下角。

所以说在 classification 的问题中，更常见的是选择 Cross-Entropy 作为我们的 Loss Function。