一元线性回归模型带e吗 一元线性回归f

前言

已知x=(x ̂,f(x ̂))的N个观测值（x ̂1,f(x ̂1)),（x ̂2,f(x ̂2)),…,（x ̂N,f(x ̂N))，但不知（x ̂,f(x ̂))，这里f称为期望回归函数，试求（x ̂,f(x ̂))，这个问题为回归问题。
回归函数可以选择的表示很多。但是根据奥卡姆剃刀准则，应该选择简单而且又可行的回归函数。显然，如果可行，线性函数是最简单的回归函数。当回归函数F采用线性模型表示时，我们称这类模型为线性回归。

一元线性回归

一元线性方程有如下形式：
$F(\hat{x})=w\hat{x}+b$
其中，系数w,b∈R称为回归系数，根据类一致性准则，为了最小化D(f(X),F(X))，最常用的方法是采用最小二乘的形式，所以，一元线性回归函数的损失函数为：
$D(f(X),F(X))=L(w,b)=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=1}^{N}{{{(w{{{\hat{x}}}_{k}}+b-f({{{\hat{x}}}_{k}}))}^{2}}}$
此时，求解一元线性回归函数的问题转化为一个优化问题，即求解：
$\arg \underset{w,b}{\mathop{\min }}\,L(w,b)=\arg \underset{w,b}{\mathop{\min }}\,\frac{1}{2N}\sum\limits_{k=1}^{N}{{{(w{{{\hat{x}}}_{k}}+b-f({{{\hat{x}}}_{k}}))}^{2}}}$
为了最优化上述目标函数，对b和w求偏导，令导数为0，即：
$\frac{\partial L(w,b)}{\partial b}=0,\frac{\partial L(w,b)}{\partial w}=0$
可求得：
$w=\frac{\sum\limits_{k=1}^{N}{{{{\hat{x}}}_{k}}f({{{\hat{x}}}_{k}})-N\bar{x}\bar{y}}}{\sum\limits_{k=1}^{N}{{{{\hat{x}}}^{2}}_{k}-N{{{\bar{x}}}^{2}}}}$
$b=\bar{f}-w\bar{x}$
其中，$\bar{x}=\sum\limits_{k=1}^{N}{\frac{{{{\hat{x}}}_{k}}}{N},\bar{f}=\sum\limits_{k=1}^{N}{\frac{f({{{\hat{x}}}_{k}})}{N}}}$

案例

假设我们试图对某一社区中个人的受教育程度（用x表示）对年平均收入（用f(x)表示）的影响进行研究。我们从该社区中随机收集到11名个体的受教育年限（单位：年）和年平均收入（单位：千元）数据（见下表）。请利用该数据判断最佳线性回归模型。（精确到小数点后两位）
表 ——某小区11名个人的年平均收入与受教育年限

受教育年限x/年	6	10	9	9	16	12	16	5	10	12	8
年平均收入f(x)/千元	5	7	6	6	9	18	13	5	10	12	10

解：因为已知数据只有一个输入特征，所以设回归函数为y=wx+b，利用上述公式计算w和b。
$\bar{x}=(6+10+9+9+16+12+16+5+10+12+8)/11=10.27$
$\bar{f}=(5+7+6+6+9+8+13+5+10+12+10)/11=8.27$
$\sum\limits_{k=1}^{11}{{{{\hat{x}}}_{k}}f({{{\hat{x}}}_{k}})=6\times 5+10\times 7+...+8\times 10=1005}$
$\sum\limits_{k=1}^{11}{{{{\hat{x}}}^{2}}_{k}={{6}^{2}}+{{10}^{2}}+...+{{8}^{2}}=1287}$
所以，
$w=\frac{\sum\limits_{k=1}^{11}{{{{\hat{x}}}_{k}}f({{{\hat{x}}}_{k}})-11\bar{x}\bar{f}}}{\sum\limits_{k=1}^{11}{{{{\hat{x}}}^{2}}_{k}-11{{{\bar{x}}}^{2}}}}=\frac{1005-11\times 10.27\times 8.27}{1287-11\times {{10.27}^{2}}}=\frac{70.74}{126.80}=0.56$
$b=\bar{f}-w\bar{x}=8.27-0.56\times 10.27=2.52$
故所求的线性回归方程为：
$F(\hat{x})=0.56\hat{x}+2.52$

线性回归的推广

多项式回归

回到我们开始的线性模型，$h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}$，如果这里不仅仅是x的一次方，比如增加二次方，那么模型就变成了多项式回归。这里写一个只有两个特征的p次方多项式回归的模型：
$h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_1^{2} + \theta_{4}x_2^{2} + \theta_{5}x_{1}x_2$
我们令$x_0 = 1, x_1 = x_1, x_2 = x_2, x_3 =x_1^{2}, x_4 = x_2^{2}, x_5 = x_{1}x_2$，,这样我们就得到了下式：
$h_\theta(x_1, x_2) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + \theta_{2}x_{2} + \theta_{3}x_3 + \theta_{4}x_4 + \theta_{5}x_5$
可以发现，我们又重新回到了线性回归，这是一个五元线性回归，可以用线性回归的方法来完成算法。对于每个二元样本特征$(x_1,x_2)$,我们得到一个五元样本特征$(1, x_1, x_2, x_{1}^2, x_{2}^2, x_{1}x_2)$，通过这个改进的五元样本特征，我们重新把不是线性回归的函数变回线性回归。

广义线性回归

在上一节的线性回归的推广中，我们对样本特征端做了推广，这里我们对于特征y做推广。比如我们的输出Y不满足和X的线性关系，但是lnY 和X满足线性关系，模型函数如下：
$ln\mathbf{Y} = \mathbf{X\theta}$
这样对与每个样本的输入y，我们用 lny去对应， 从而仍然可以用线性回归的算法去处理这个问题。我们把 Iny一般化，假设这个函数是单调可微函数g(.),则一般化的广义线性回归形式是：
$\mathbf{g}(\mathbf{Y}) = \mathbf{X\theta}或者\mathbf{Y} = \mathbf{g^{-1}}(\mathbf{X\theta})$
这个函数g(.)我们通常称为联系函数。

线性回归的正则化

为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。
线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个常数系数α来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：　　
$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \alpha||\theta||_1$
其中n为样本个数，α为常数系数，需要进行调优。$||\theta||_1$为L1范数。
Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。
线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和Lasso回归的区别是Ridge回归的正则化项是L2范数，而Lasso回归的正则化项是L1范数。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：
$J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2$
其中α为常数系数，需要进行调优。$||θ||_2$为L2范数。
Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。
除了上面这两种常见的线性回归正则化，还有一些其他的线性回归正则化算法，区别主要就在于正则化项的不同，和损失函数的优化方式不同，这里就不累述了。

线性回归的python代码实现

python完整代码：

#-*- coding:utf-8 -*-

import numpy as np
from pylab import *

def train_wb(X, y):
    """
    :param X:N*D的数据
    :param y:X对应的y值
    :return: 返回（w，b）的向量
    """
    if np.linalg.det(X.T * X) != 0:
        wb = ((X.T.dot(X).I).dot(X.T)).dot(y)
        return wb

def test(x, wb):
    return x.T.dot(wb)

def getdata():
    x = []; y = []
    file = open("ex0.txt", 'r')
    for line in file.readlines():
        temp = line.strip().split("\t")
        x.append([float(temp[0]),float(temp[1])])
        y.append(float(temp[2]))
    return (np.mat(x), np.mat(y).T)

def draw(x, y, wb):

    #画回归直线y = wx+b
    a = np.linspace(0, np.max(x)) #横坐标的取值范围
    b = wb[0] + a * wb[1]
    plot(x, y, '.')
    plot(a, b)
    show()

X, y = getdata()
wb = train_wb(X, y)
draw(X[:, 1], y, wb.tolist())

运行结果如图所示：