柯布道格拉斯生产函数，又称“C-D生产函数”。最早由保罗·道格拉斯（Paul Douglas）和查尔斯·柯布（Charles Cobb）提出。因其具有明确的经济意义，一经提出便得到了广泛的应用。
其优良的性质包括对解释要素的边际产量、边际替代率、产出弹性、替代弹性、技术进步等诸多方面。下面用C-D生产函数分别对上述经济概念进行描述。
C-D生产函数的基本公式
其中，参数A代表技术进步，
分别表示
资本和劳动的产出份额（或资本和劳动的产出弹性）。
（一）要素的边际产量（要素的价格）
1.资本的边际产量:
2.劳动的边际产量：
在新古典分配理论中，一般认为每种生产要素的实际价格均取决于其边际产量。其理由是，生产要素具有边际产量递减的规律。
以资本要素为例，假设每单位产品的价格为P，且家庭拥有生产要素的所有权。
当企业所需要的生产要素的边际产量所带来的收益（边际收益）MPK*P等于要素边际成本R时，即边际收益MPK*P=R时，企业的资本要素需求量将达到平衡。此时资本的边际产量等于资本的实际价格MPK=R/P。
（二）要素的边际替代率（要素边际产出比）
劳动对资本的边际替代率
资本对劳动的边际替代率
（三）要素的产出弹性(要素的产出份额)
1.资本的产出弹性：
2.劳动的产出弹性
上式表明了要素的产出弹性=要素的产出份额，这也是为什么在很多文章中对
这两个概念的交叉使用。
当
时，表示规模报酬不变；
当
时，表示规模报酬递增。（或规模经济）；
当
时，表示规模报酬递减。（或规模不经济）。
关于为什么规模报酬递增和递减分别代表规模经济和不经济，在《规模报酬与规模经济——基于生产函数理解》[1]这篇文章里有讨论。
（四）要素的替代弹性
要素的替代弹性是指资本和劳动两种 要素的比例变化率与边际替代率之比，一般用
表示,其公式如下：
根据微分公式
可得：
一般情况下，要素替代弹性
为正数，
当
时，表示要素间不可以限替代；
当
时，表示要素间可以有限替代；
当
时，表示要素间可以无限替代；
上述结论表明，C-D生产函数的要素替代弹性为恒等于1的常数，表示要素间可以进行有限替代。虽然这一假定符合基本的经济事实，但是在许多地区、行业要素替代弹性可能并不相同，因此其假设为恒定常数，仍存在着一定缺陷。
（五）要素相对密集度与技术进步
1.技术进步可分为广义技术进步、狭义技术进步和中性技术进步、有偏技术进步等。
狭义技术进步是指要素质量的提高；广义技术进步是指要素和要素之外的管理水平等提高对产出的贡献。
显然，在C-D生产函数中，系数A表示广义技术进步。
2.要素相对密集度与技术进步类型
要素相对密集度表示两要素产出弹性之比，资本相对密集度一般用
表示
如果技术进步使得
越来越大，则称之为“劳动节约型技术进步”；
如果技术进步使得
越来越小，则称之为“资本节约型技术进步”；
如果技术进步对
不产生影响，则称之为“中性技术进步”。
对于“中性技术进步”而言，
如果要素之比K/L不随时间变化，则称为“希克斯中性技术进步”；
如果劳动产出率Y/L不随时间变化，则称为“索洛中性技术进步”；
如果资本产出率Y/K不随时间变化，则称为“哈罗德中性技术进步”。
参考
- ^https://zhuanlan.zhihu.com/p/273285819
