1．问题描述
梅森数（Mersenne Prime）指的是形如2 n -1的正整数，其中指数n
是素数，记为Mn。如果一个梅森数是素数，则称其为梅森素数。例如
2 2 -1＝3、2 3 -1＝7都是梅森素数。
当n=2、3、5、7时，Mn都是素数，但n=11时，Mn=M 11 =2 11
-1=2047=23×89，显然不是梅森素数。
1722年，瑞士数学大师欧拉证明了2 31 -1＝2147483647是一个素
数，它共有10位数，成为当时世界上已知的最大素数。
迄今为止，人们仅发现了47个梅森素数。梅森素数历来都是数论
研究中的一项重要内容，也是当今科学探索中的热点和难点问题。
了解了梅森素数后，现在来看本节要解决的编程问题。
试求出指数n<20的所有梅森素数。
2．问题分析
只要理解了梅森素数的定义，该问题并不难求解。
要编程求解的问题是找出指数n<20的所有梅森素数。根据梅森素
数的定义，我们可以先求出n<20的所有梅森数，再逐一判断这些数是
否为素数。如果是素数，则表示该数为梅森素数，打印输出即可，否
则不是梅森素数。
3．算法设计
由问题分析可知，我们要求n<20的所有梅森数，因此在本题的算
法设计中需要采用循环结构。
设变量mp存储梅森数，整数i表示指数，其取值从2～19，i每变化
一次，都相应地计算出一个梅森数，存放在mp中。对每次计算得到的
当前mp值，都调用函数prime()进行判断。
在判断mp是否为素数时可以定义一个函数prime()，每次都将mp
的当前值作为实参传递给函数prime()，在prime()中使用前面介绍过的
判断素数的方法进行判断。如果n为素数，则prime()函数返回值为1，
否则prime()函数返回值为0。
若prime()函数返回值为1，则当前mp为梅森素数，应该将其输
出；若prime()函数返回值为0，则当前mp不是梅森素数。
4．确定程序框架
程序的流程图如图5.13所示。
5．完整的程序
根据上面的分析，编写程序如下：
#!/usr/bin/python3
# -*- coding: utf-8 -*-
# @author : liuhefei
# @desc: 梅森素数
import math
# 判断n是否为素数
def prime(n):
k = math.sqrt(n) + 1
i = 2
while i <= k:
if n % i == 0:
return 0 # n能被j整除，不是素数，返回0
i += 1
return 1 # n是素数，返回1
if __name__=="__main__":
n = 0
print("梅森素数：")
for i in range(2, 20):
mp = (2 ** i) - 1 # 求梅森数
if prime(mp): # 判断mp是否为梅森素数
n += 1
print("M(%d) = %d" %(i, mp)) # 若当前mp为梅森素数，则打印，i为指数
print("2的指数n<20的所有梅森素数有：%d个" %n)6．运行结果
在PyCharm下运行程序，结果如图5.14所示。由图5.14可见，
M(2)=3，表示3是指数为2的梅森素数，其他的结果可类似解释。由运
行结果可知，n<20的所有梅森素数共有7个。
