线性代数
# numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块,可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求解行列式等。
import numpy as np
import numpy.linalg as lg
1. 计算逆矩阵
创建矩阵:
A = np.array([[0, 1, 2], [1, 0, 3], [4, -3, 8]])
print(arr)
结果:
[[ 0 1 2]
[ 1 0 3]
[ 4 -3 8]]
使用inv函数计算逆矩阵
inv = lg.inv(A)
print(inv)
结果:
[[-4.5 7. -1.5]
[-2. 4. -1. ]
[ 1.5 -2. 0.5]]
检查原矩阵和求得的逆矩阵相乘的结果为单位矩阵
print(np.dot(A, inv))
结果:
[[ 1. 0. 0.]
[ 0. 1. 0.]
[ 0. 0. 1.]]
# 注:矩阵必须是方阵且可逆,否则会抛出LinAlgError异常。
2. 求解线性方程组
# numpy.linalg中的函数solve可以求解形如 Ax = b 的线性方程组,其中 A 为矩阵,b 为一维或二维的数组,x 是未知变量
调用solve函数求解线性方程
具体看我前一篇blog:
3. 特征值和特征向量
# 特征值(eigenvalue)即方程 Ax = ax 的根,是一个标量。其中,A 是一个二维矩阵,x 是一个一维向量。特征向量(eigenvector)是关于特征值的向量
# numpy.linalg模块中,eigvals函数可以计算矩阵的特征值,而eig函数可以返回一个包含特征值和对应的特征向量的元组
C = np.array([[3, -2], [1, 0]])
c0 = lg.eigvals(C)
print("C的特征值是:\n", c0)
结果:
C的特征值是:
[ 2. 1.]
# 使用eig函数求解特征值和特征向量 (该函数将返回一个元组,按列排放着特征值和对应的特征向量,其中第一列为特征值,第二列为特征向量)
c1, c2 = lg.eig(C)
print("C的特征值:\n", c1)
print("C的特征向量:\n", c2)
结果:
C的特征值:
[ 2. 1.]
C的特征向量:
[[ 0.89442719 0.70710678]
[ 0.4472136 0.70710678]]
4.奇异值分解
# SVD(Singular Value Decomposition,奇异值分解)是一种因子分解运算,将一个矩阵分解为3个矩阵的乘积
# numpy.linalg模块中的svd函数可以对矩阵进行奇异值分解。该函数返回3个矩阵——U、Sigma和V,其中U和V是正交矩阵,Sigma包含输入矩阵的奇异值。
import numpy as np
# 分解矩阵
D = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函数分解矩阵
U,Sigma,V = np.linalg.svd(D,full_matrices=False)
print ("U:",U)
#U: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("Sigma:",Sigma)
#Sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("V",V)
#V [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 结果包含等式中左右两端的两个正交矩阵U和V,以及中间的奇异值矩阵Sigma
# 使用diag函数生成完整的奇异值矩阵。将分解出的3个矩阵相乘.
#diag函数:将一个方阵的对角(或非对角)元素作为一维数组返回,或者将一维数组转换成一个方阵,并且在非对角线上有零点。
print (U * np.diag(Sigma) * V)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]
5. 广义逆矩阵
# 使用numpy.linalg模块中的pinv函数进行求解,
# 注:inv函数只接受方阵作为输入矩阵,而pinv函数则没有这个限制
# 创建一个矩阵
# 使用pinv函数计算广义逆矩阵
C = np.array([[4, 11, 14], [8, 7, -2]])
c1 = lg.pinv(C)
print("C的伪逆矩阵:\n", c1)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]
6. 行列式
# numpy.linalg模块中的det函数可以计算矩阵的行列式
# 计算矩阵的行列式
# 使用det函数计算行列式
C = np.array([[3, 4], [5, 6]])
c1 = lg.det(C)
print("C的行列式:\n", c1)
结果:
C的行列式:
-2.0