权重量化3bit 权重度量

文章目录

• 算法思想
• 算法原理
• TF-IDF与信息论
• 平滑处理
• 正则化处理
• 算法实现

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算法思想

TF-IDF（term frequency–inverse document frequency，词频-逆向文件频率） 是用于信息检索与文本挖掘的重要算法，其中TF用于度量关键词在文档中的重要性，IDF用于度量关键词在全文档中的重要性， 即文档中某关键词的重要性，与它在当前文档中的频率成正比，而与包含它的文档数成反比。

TF-IDF的主要思想是，若一个关键词在一篇文档中出现的频率高，而在其他文档中很少出现，则该关键词可较好的反应当前文档的特征。

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算法原理

度量某文档和查询的相关性，最简单的方法是利用各查询关键词在该文档中出现的总词频（Term Frequency，TF）。

具体地，对于包含M个关键词的w₁, w₂,…w_n查询，各关键词在某文档中出现的频率分别为：TF(w₁), TF(w₂),…,TF(w_M)，则该文档与查询的相关性为：
$TF(w_1)+TF(w_2)+\cdots+TF(w_M)$

某些关键词可能同时出现在多篇文档中，该类关键词的主题预测能力较弱，可见，仅使用TF不能很好的反应文档与查询的相关性。

关键词的主题预测能力越强，在度量与文档的相关性时，其权重应该越大。 也就是说，若某关键词在较少文档中出现，则该关键词的权重应该较高，如关键词原子能的权重大于应用的权重。因此，利用包含某关键词的文档数，修正仅用词频TF度量该关键词的权重。

在信息检索领域，使用逆文本频率（Inverse Document Frequency， IDF） 表示关键词的主题预测能力（权重），表示为
$IDF(w)=\log\frac{D}{DF(w)}$

其中D为全部文档数，DF(w)为包含关键词w的文档数。

利用IDF的思想，文档与查询的相关性计算由简单的词频求和，变为以IDF为权重的加权求和，即
$TF(w_1)\cdot IDF(w_1)+ TF(w_2)\cdot IDF(w_2)+\cdots+ TF(w_M)\cdot IDF(w_M)$

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TF-IDF与信息论

一个查询中，每个关键词的权重应该反应其为查询提供的信息量，简单的方法就是，用关键词的信息量，作为它在查询中的权重，即
$\begin{aligned} I(w) & =-P(w)\log P(w) \\\,\\ & = -\frac{{TF}(w)}{N}\log\frac{{TF}(w)}{N}=\frac{{TF}(w)}{N}\log\frac{N}{{TF}(w)} \end{aligned}$

其中N为整个语料库中的总词数，是可忽略的常数，此时
$I(w)={TF}(w)\log\frac{N}{{TF}(w)}$

若两个关键词在全文档中出现的频率相同，但第一个关键词集中分布在少数文章中，而第二个关键词分布在多篇文章中，显然，第一个关键词具有更好的主题预测能力，应赋予更高的查询权重。

为此，提出以下假设（总文档数D，总词数N，包含关键词w的文档数DF(w)）：

• 每个文档含词数基本相同，即
  $M=\dfrac{N}{D}=\dfrac{\sum_w{TF}(w)}{D}$
• 每个关键词一旦在文档中出现，不论其出现多少次，权重都相同，即关键词w在文档中未出现，则权重为0；否则，则为
  $c(w)=\dfrac{TF(w)}{DF(w)}$

因此，关键词w的信息量
$\begin{aligned} I(w) & = {TF}(w)\log\frac{N}{{TF}(w)}= {TF}(w)\log\frac{MD}{c(w)\cdot DF(w)} \\ & = {TF}(w)\left[\log\frac{D}{DF(w)}+\log\frac{M}{c(w)}\right] \end{aligned}$

=>
${TF-IDF}(w)=I(w)-{TF}(w)\log\frac{M}{c(w)}$

易知，关键词w的TF-IDF值，与其信息量成正比；又由于M>c(w)，知关键词w的TF-IDF值，与其在文档中出现的平均次数成反比，这些结论完全符合信息论。

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平滑处理

经过平滑处理后, IDF的最终计算公式如下：
$IDF(w) = \log\frac{N+1}{DF(w)+1} + 1$

• log项中分子项和分母项均加1，表示虚拟增加一篇包含任意词的文档，避免分母项为0；
• IDF的最终值加1，避免某单词在所有文档中出现时，IDF的值为0，即不忽略出现在所有文档中的词；

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正则化处理

sklearn中类TfidfTransformer默认对文档的TF-IDF特征向量做l2正则化，即某文档的TF-IDF特征向量为v，则
$V_{norm}=\frac{v}{||v||_2}=\frac{v}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots + v_n^2}}$

若单词表为{w₁, w₂, w₃}，文档A=(w₁, w₂, w₂)，B=(w₁, w₂, w₃)，且w₁, w₂, w₃的IDF值相同，则未正则化时
$\begin{aligned} & TF-IDF(A) = (0.333, 0.666, 0)\cdot IDF(w) \\ & TF-IDF(B) = (0.333, 0.333, 0.333)\cdot IDF(w) \end{aligned}$

此时，文档A、B中单词w₁的TF-IDF值相同。

若进行l2正则化，则
$\begin{aligned} & TF-IDF(A)_{l2} = (0.447, 0.894, 0) \\ & TF-IDF(B)_{l2} = (0.577, 0.577, 0.577) \end{aligned}$

可见文档B中w₁的TF-IDF值（权重）更大，正则化后的意义为：考虑文档的TF-IDF特征分布，增加不同权重之间的差异。

不失一般性，文档A、B中正则化后w₁的TF-IDF分别为
$TF-IDF(A_{w_1})_{l2}=\frac{TF(A_{w_1})}{\sqrt{TF(A_{w_1})^2+TF(A_{w_2})^2}}\\\,\\ TF-IDF(B_{w_1})_{l2}=\frac{TF(B_{w_1})}{\sqrt{TF(B_{w_1})^2+TF(B_{w_2})^2++TF(B_{w_3})^2}}$

如TF(A_w₁) = TF(B_w₁)，且TF之和为1，知
$TF(A_{w_2})=TF(B_{w_2})+TF(B_{w_3})$

推导出
$\begin{aligned} TF(A_{w_2})^2 & =TF(B_{w_2})^2+TF(B_{w_3})^2+2TF(B_{w_2}) \cdot TF(B_{w_3})\\ & \geq TF(B_{w_2})^2+TF(B_{w_3})^2 \end{aligned}$

进而，推导出
$TF-IDF(A_{w_1})_{l2} \leq TF-IDF(B_{w_1})_{l2}$

当前仅当TF(B_w₂) = 0或TF(B_w₃) = 0，即B中w₂或w₃的频率为0时，等式成立。

算法实现

算法的实现参考了sklearn.feature_extraction.text中的CountVectorizer和TfidfVectorizer类，如下：

import re
from collections import defaultdict

from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer, TfidfVectorizer
import numpy as np
from scipy.sparse import csr_matrix, spdiags
from scipy.sparse.linalg import norm

PTN_SYMBOL = re.compile(r'[.!?\'",]')


def tokenize(doc):
    """
    英文分词，小写输出
    """
    for word in PTN_SYMBOL.sub(' ', doc).split(' '):
        if word and word != ' ':
            yield word.lower()


def count_vocab(raw_documents):
    """
    返回文档词频的稀疏矩阵
    参考sklearn.feature_extraction.text.CountVectorizer._count_vocab

    矩阵大小：M*N, M个文档, 共计N个单词

    :param raw_documents: ['Hello world.', 'Hello word', ...]
    :return: csc_matrix, vocabulary
    """
    vocab = {}
    data, indices, indptr = [], [], [0]

    for doc in raw_documents:
        doc_feature = defaultdict(int)
        for term in tokenize(doc):
            # 词在词表中的位置
            index = vocab.setdefault(term, len(vocab))
            # 统计当前文档的词频
            doc_feature[index] += 1
        # 存储当前文档的词及词频
        indices.extend(doc_feature.keys())
        data.extend(doc_feature.values())
        # 累加词数
        indptr.append(len(indices))

    # 构造稀疏矩阵
    X = csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(len(indptr) - 1, len(vocab)), dtype=np.int64)

    # 将单词表排序，同时更新压缩矩阵数据的位置
    map_index = np.empty(len(vocab), dtype=np.int32)
    for new_num, (term, old_num) in enumerate(sorted(vocab.items())):
        vocab[term] = new_num
        map_index[old_num] = new_num
    X.indices = map_index.take(X.indices, mode='clip')

    X.sort_indices()

    return X, vocab


def tfidf_transform(X, smooth_idf=True, normalize=True):
    """
    将词袋矩阵转换为TF-IDF矩阵

    :param X: 压缩的词袋矩阵 M*N， 文本数M, 词袋容量N
    :param smooth_idf: 是否对DF平滑处理
    :param normalize: 是否对TF-IDF执行l2标准化
    :return: TF-IDF压缩矩阵(csc_matrix)
    """
    n_samples, n_features = X.shape

    df = np.bincount(X.indices, minlength=X.shape[1])
    df += int(smooth_idf)
    new_n_samples = n_samples + int(smooth_idf)
    idf = np.log(float(new_n_samples) / df) + 1.0

    # 对角稀疏矩阵N*N，元素值对应单词的IDF
    idf_diag = spdiags(idf, diags=0, m=n_features, n=n_features, format='csr')

    # 等价于 DF * IDF
    X = X * idf_diag

    # 执行l2正则化
    if normalize:
        norm_l2 = 1. / norm(X, axis=1)
        tmp = spdiags(norm_l2, diags=0, m=n_samples, n=n_samples, format='csr')
        X = tmp * X

    return X


if __name__ == '__main__':
    # 源文档
    raw_documents = [
        'This is the first document.',
        'This is the second second document.',
        'And the third one.',
        'Is this the first document?',
    ]
    # 转换为词袋模型
    X, vocab = count_vocab(raw_documents)
    # X = CountVectorizer().fit_transform(raw_documents)
    """
    >> vocab
    {'this': 8, 'is': 3, 'the': 6, 'first': 2, 'document': 1, 'second': 5, 'and': 0, 'third': 7, 
    'one': 4}
    
    >> X.toarray()
    [[0 1 1 1 0 0 1 0 1]
     [0 1 0 1 0 2 1 0 1]
     [1 0 0 0 1 0 1 1 0]
     [0 1 1 1 0 0 1 0 1]]
    """

    # 计算TF-IDF
    tfidf_x = tfidf_transform(X)
    # tfidf_x = TfidfVectorizer().fit_transform(raw_documents)
    """
    >> tfidf_x.toarray()
    [   [0.       0.439       0.542       0.439       0.          0.      0.359   0.         0.439]
        [0.       0.272       0.          0.272       0.          0.853   0.223   0.         0.272]
        [0.553    0.          0.          0.          0.553       0.      0.288   0.553      0.   ]
        [0.       0.439       0.542       0.439       0.          0.      0.359   0.         0.439]	]
    """