因果推断模型R语言 因果推断工具变量

关于因果关系的识别，前面介绍了一些方法：随机对照试验、后门调整、前门调整、do-演算。今天介绍另一种进行因果效应识别的另一种方法：工具变量。

1. 什么是工具变量？

上面的因果图中，$Z$就是一个工具变量，可以利用它在$U$观测不到的情况下计算$T$对$Y$的因果效应。

工具变量的标准：

1. （Relevance）$Z$是$T$的直接原因。
2. （Exclusion Restriction）$Z$对$Y$的因果效应由$T$完全介导。
3. （Instrumental Unconfoundedness）$Z$到$Y$没有畅通无阻的后门路径。

一个变量满足上述工具变量标准，才能成为一个工具变量，才能利用其进行因果关系的识别。

2. 工具变量不能进行ATE的无参识别

与第五章介绍的ATE识别的方法相比，工具变量无法对ATE进行无参识别。当使用后门调整、前门调整和do-演算识别ATE时，我们无需对参数形式或者说结构变量做任何假设，但工具变量对ATE的识别必须建立在对参数形式（例如，线性）的假设之上。

因果效应可以被无参识别的必要条件是：$T$到其后代也是$Y$的祖先的节点$M$的后门路径是可以被阻断的（见第五章最后）。在上面的因果图中，$Y$是$T$的子代，并将其看成自己的祖先，$T$到$Y$的后门路径$T→U→Y$由于$U$观测不到而无法被阻断，因此$T$对$Y$的因果效应不能被无参识别。

3. 二元线性设置下工具变量识别ATE

首先介绍最简单的情况：二元线性设置下用工具变量识别ATE。

假设：$Y:=\delta T+\alpha{_u}U$，假设$T$和$Z$都是二元变量。

根据假设，$T$对$Y$的因果效应为$\delta$，我们需要根据$Z$估计$\delta$的值。

$\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]\\ \quad=\mathbb{E}\left[\delta T+\alpha_{u} U \mid Z=1\right]-\mathbb{E}\left[\delta T+\alpha_{u} U \mid Z=0\right]\\ \quad=\delta (\mathbb{E}[T|Z=1]-\mathbb{E}[T|Z=0])+\alpha_{u}(\mathbb{E}[U|Z=1]-\mathbb{E}[U|Z=0])\\ \quad=\delta (\mathbb{E}[T|Z=1]-\mathbb{E}[T|Z=0])$

在计算过程中把$\mathbb{E}[T|Z=0])+\alpha_{u}(\mathbb{E}[U|Z=1]-\mathbb{E}[U|Z=0])$直接删掉是因为根据工具变量标准的第三条，$Z$与$U$是相互独立的。于是，

$\delta=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1]-\mathbb{E}[T \mid Z=0]}$注意，根据工具变量标准的第一条，上式中的分母不为零。

然后，我们插入经验平均值来代替这些条件期望值，得到Wald估计量：
$\hat{\delta}=\frac{\frac{1}{n_{1}} \sum_{i: z_{i}=1} Y_{i}-\frac{1}{n_{0}} \sum_{i: z_{i}=0} Y_{i}}{\frac{1}{n_{1}} \sum_{i: z_{i}=1} T_{i}-\frac{1}{n_{0}} \sum_{i: z_{i}=0} T_{i}}$其中，$n_1$是$z=1$的样本数，$n_2$是$z=0$的样本数。

4. 连续线性设置下工具变量识别ATE

同样假设$Y:=\delta T+\alpha{_u}U$，当$T$和$Z$都是连续的的时候，
$\delta=\frac{\operatorname{Cov}(Y, Z)}{\operatorname{Cov}(T, Z)}$证明：

$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(Y, Z) &=\mathbb{E}[Y Z]-\mathbb{E}[Y] \mathbb{E}[Z] \\ &=\mathbb{E}\left[\left(\delta T+\alpha_{u} U\right) Z\right]-\mathbb{E}\left[\delta T+\alpha_{u} U\right] \mathbb{E}[Z] \\ &=\delta \mathbb{E}[T Z]+\alpha_{u} \mathbb{E}[U Z]-\delta \mathbb{E}[T] \mathbb{E}[Z]-\alpha_{u} \mathbb{E}[U] \mathbb{E}[Z] \\ &=\delta(\mathbb{E}[T Z]-\mathbb{E}[T] \mathbb{E}[Z])+\alpha_{u}(\mathbb{E}[U Z]-\mathbb{E}[U] \mathbb{E}[Z]) \\ &=\delta \operatorname{Cov}(T, Z)+\alpha_{u} \operatorname{Cov}(U, Z) \\ &=\delta \operatorname{Cov}(T, Z) \end{aligned}$

5. 工具变量无参识别局部ATE

根据Principal Strata，将数据分为四层：

1. Compliers - $T(1)=1\ and\ T(0)=0$
2. Always-takers - $T(1)=1\ and\ T(0)=1$
3. Never-takers - $T(1)=0\ and\ T(0)=0$
4. Defiers - $T(1)=0\ and\ T(0)=1$

Local ATE（LATE, Complier Average Causal Effect (CACE)）的定义：

$\mathbb{E}[Y(T=1)-Y(T=0) \mid T(Z=1)=1, T(Z=0)=0]$

Monotonicity假设：$\forall i, \quad T_{i}(Z=1) \geq T_{i}(Z=0)$，这个假设的意思就是没有defier。

基于上面的假设，我们可以得到局部ATE：
$\mathbb{E}[Y(1)-Y(0) \mid T(1)=1, T(0)=0]=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1]-\mathbb{E}[T \mid Z=0]}$

证明：
按照Principal Strata将数据分为四层，
$\begin{array}{l} \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0)] \\ \quad \begin{array}{l}= \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0] P(T(1)=1, T(0)=0) \\ +\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=0, T(0)=1] P(T(1)=0, T(0)=1) \\ +\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=1] P(T(1)=1, T(0)=1) \\ +\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=0, T(0)=0] P(T(1)=0, T(0)=0) \end{array} \end{array}$对于always-takers和never-takers，$Z$和$T$是独立的，因此$Z$对$Y$也没有因果效应，因此消去它们。$\begin{aligned} \quad=& \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0] P(T(1)=1, T(0)=0) \\ &+\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=0, T(0)=1] P(T(1)=0, T(0)=1) \end{aligned}$根据假设，没有defiers，因此，消去它们。$\begin{aligned} \quad=& \mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0] P(T(1)=1, T(0)=0) \end{aligned}$
现在，我们可以得到，对于compliers，$Z$对$Y$的因果效应为：
$\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0) \mid T(1)=1, T(0)=0]=\frac{\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0)]}{P(T(1)=1, T(0)=0)}$因为是compliers，所以$Y(Z=1)=Y(T=1)$且$Y(Z=1)=Y(T=1)$，因此，$\mathbb{E}[Y(T=1)-Y(T=0) \mid T(1)=1, T(0)=0]\\=\frac{\mathbb{E}[Y(Z=1)-Y(Z=0)]}{P(T(1)=1, T(0)=0)}\\ =\frac{\mathbb{E}[Y|Z=1]-\mathbb{E}[Y|Z=0]}{P(T(1)=1, T(0)=0)}$因为没有compliers，可以用总概率减去always-takes和never-takers得到compliers的概率。于是，$=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{1-P(T=0 \mid Z=1)-P(T=1 \mid Z=0)}\\=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{1-(1-P(T=1 \mid Z=1))-P(T=1 \mid Z=0)}\\=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{P(T=1 \mid Z=1)-P(T=1 \mid Z=0)}\\=\frac{\mathbb{E}[Y \mid Z=1]-\mathbb{E}[Y \mid Z=0]}{\mathbb{E}[T \mid Z=1]-\mathbb{E}[T \mid Z=0]}$

上面计算局部ATE的方法仅局限于：

1. 线性
2. 满足Monotonicity假设

6. ATE识别的更一般设置