经验模式分解(empirical mode decomposition, EMD)方法是Huang提出的,它是一种新的时频分析方法,而且是一种自适应的时频局部化分析方法:①IMF与采样频率相关;②它基于数据本身变化。这点是EMD优于傅立叶变换方法的地方,它摆脱了傅里叶变换的局限性。但EMD比较重要的缺点就是模态混叠,为了更好地解决这一问题,EEMD被Huang提出。
经验模态EMD分解方法的原理及特性
本征模态分量
Norden E. Huang为了得到瞬时频率,提出基本模态分量(Intrinsic Mode Fuction)一个本征模态分量(IMF)必须满足下面两个条件:
①在整个数据序列内,极值点的个数iV。,和过零点的个数iV,必须满足以下关系:
②在任一时间点,信号由局部极大值确定的上包络线人(r)和由局部极小值确定的下包络(/)的均值必须满足以下关系:
第一个限定条件很明显,与正态平稳过程的传统窄带的要求很相似;第二个是创新 方面,创新表现在把限制的范围做了改变,传统的全局限制转为局域性的,这种限定可以解决由于波形不对称而造成的瞬时频率的波动
经验模态分解的原理和算法
EMD是一种非平稳信号分析方法,但是它不同于FFT。EMD适合任意数据,基于数据本身来分解,不需要基函数。EMD分解基于这样的假设:①认为信号由不同的IMF组合而成;②IMF同时具备线性和非线性特点;由EMD方法分解信号可以得到一系列的本征模态分量(IMF),如下
式中imfi(t)是EMD分解得到的第i个IMF; rn(t)是分解筛除n个IMF后的信号残余分量,常常代表信号的直流分量或信号的趋势。
在满足模式分量的两个条件的情况下,不断迭代筛除得到模式分量:将所有极大值点和所有极小值点分别用三次样条曲线连接起来,得到上、下包络线且取其均值mj {t),不断地进行删除和迭代,最后按照Sd终止这个过程,得到一系列本征模态分量。再重复上面把剩余的量最为原始信号进行重复循环,直到信号的残余分量rn(t)为单调函数且不能再分解出模态分量时,或所分离的最后个本征模态分量cn(t)很小,再或rn(r)比预期小时,整个分解过程结束。
假设ri(t)为剩余分量,hi(t)为分解模态分量,mi(t)为上、下包络线均值组成的序列,则EMD分解算法如图3-1所示:
①初始化r0(t) = x(t),i=1 (循环开始)
②抽取第i个IMF的过程如图3-1所示,停止条件可以用标准差Sd控制
Sd为两个连续的处理结果之间的标准差且一般情况下=(0.2[] 0.3)
④如果仍然含有2个以上的极值,则继续分解,否则分解结束。
EMD分解得到的前几个本征模态分量,通常集中了原信号中最显著、最重要的信息,且本征模态分量不同其所包含的时间尺度也是各异的,即令信号的特征在不同的分辨率下表达出来,因此,可以利用EMD从复杂的信号中提取出特定特征的模态分量
为了理解EMD的分解过程,下面举了一个仿真信号的例子。图3-2为信号x(t)表达式为
对仿真信号进行EMD分解,得到3个IMF分量和1个残余函数r3,如图 3-3所示，对应的频率从高到低,尺度各相不同。
经验模态EMD分解的特点
EMD方法具有以下特点:
1. 自适应性
(1 )基函数的自动产生
与小波变换一个很大的区别是：小波变换时需要预先选择小波基，而EMD方法不需要，根据数据本身来分解。
（2）自适应的滤波特性
EMD由不等带宽的IMF分量c1,c2......cn组成而成。这些分量的频率是从高到底排列的，信号不同频率带宽也不同。因此，EMD可看作一组自适应高通滤波，信号不同，截止频率和带宽也不同。然而在小波分解中，获得的时域波形是由小波分解尺度决定的。
（3）自适应的多分辨率
通过EMD得到的IMF所包含的特征时间尺度不同，说明信号可以用不同的分辨率来表达。
2.完备性
信号分解的完备性是指,把分解后的各个分量相加能够获得原信号的性质。
下面通过一个仿真信号的EMD分解与重构过程来说明EMD方法的完备性。
仿真信号x(t)的表达式为
采用EMD方法对它进行分解,得到3个IMF分量C1 C2 C3和1个残余函数r3,y IMF分量C3的特征时间尺度是最大的,将它和残余函数r3结合一起,重构原始信号x{t),分解和重构的过程如图3-4所示,图中还给出了重构信号r0和原始信号x(t)之间的误差Err,误差的数量级达到10-15。
经验模态EMD分解的存在问题
经验模态分析方法也存在问题和不足之处,主要是:①用EMD分解得到的IMF存在模态混合现象;②末端效应影响分解效果,下面就来进一步讨论两个问题。
1 .用EMD分解得到的IMF存在模态混合现象
EMD分解得到的IMF分量往往存在模态混合,造成IMF分量不精确。Huang等认为模式混叠是极值点的选择造成信号的间歇现象。
出现下列情况之一就称为模态混合:①在同一个IMF分量中,存在尺度分布范围很宽却又各不相同的信号;②在不同的IMF分量中,存在着尺度相近的信号。模态混合,使得IMF分量失去其具有原来单一特征尺度的特征,形成尺度混杂的振荡,因此失去其原有的物理意义。一个模拟信号例子来说明EMD的模态混叠，如图3-5所示，x1(t)是10Hz的正玄波，x2(t)是间歇信号。
用EMD对信号x(t)进行分解,如图3-6所示,可以获得第一阶本征模分量C1，第二阶本征模分量C2，第三阶本征模分量C3，r3表示残余分量。在第一阶本征模分量中明显的包含不同频率的分量，EMD分解存在混叠。
2.端点效应影响分析结果
端点效应由两种情形造成的:①在三次样条拟合中产生;②在Hilbert变换中产生。端点效应直接影响经验模态分析的效果。端点处理的好,分解的效果就比较好,许多学者研究克服端点效应的方法。Wang用最小相似距离的延拓方法;程军圣等人用支持向量回归机的方法Deng等人用神经网络;林大超等人用支持向量机和镜像延拓方法[40];他们用不同的方法,都取得了不错的成果。
集合经验模态分解EEMD提出及概念
Huang曾把极小幅度的的噪声加入到地震数据中,这中做法可以阻止低频模式分量的扩散。这是第一个把噪声辅助分析方法用到EMD中的做法,但他却没完全地理解把噪声加入到EMD中的影响。法国的Flandrin的研究才是真正意义上开创性的进
展。传统EMD分解不能对没有足够多极值点的信号进行分解,因此Flandrin为了解决这个问题而将噪声引入到EMD分解中。在加入噪声后,Flandrin使原来不能用于分析此数据的EMD算法变的可用。
Huang也对白噪声EMD分解的研究。他选取了一组白噪声,对信号进行EMD分解,结论得出:添加白噪声的实验说明,①EMD分解的作用,与自适应二进制滤波器是相似的,表现在分离出的每个本征模态分量的平均周期大概是前个的2倍(即后
面频率是前面的2倍);②白噪声的尺度呈现均匀分布状态,且其能量在频谱上也呈现均匀分布状态,作为二进制的滤波器,如果信号不是纯的白噪声时,会丢失一些尺度,所以有可能出现模态混叠现象,模态混叠概念在上小节已经介绍过,这里就不再做介绍。
由于EMD分解出现模态混叠现象,法国的Handrin等人用EMD对白噪声分解后的结果进行统计,提出了基于噪声辅助分析的改进的EMD方法。在进行试验时,利用白噪声频谱均匀分布的特性,在待分析信号中加入白噪声,这样不同时间尺度的信号可以自动分离到与其相适应的参考尺度上去,这就是EEMD方法。该方法主要是在信号中添加白噪声,以此来补充一些缺失的尺度,在信号分解中具有良好的表现。
集合经验模态分解EEMD原理及算法
EEMD的原理较为简单,信号极值点影响IMF,若分布不均匀时会出现模态混叠。Huang把白噪声引入要分析的信号中,白噪声的频谱均勾分布,白噪声使得信号会自动分布到合适的参考尺度上。由于零均值噪声的特性,噪音经过多次的平均计算后会相互抵消,这样集成均值的计算结果就可以直接视作最终结果。集成均值的计算结果与原始信号的差值随着集成平均的次数增加而减少。
EEMD算法步骤如下：
1.将正态分布的白噪声加到原始信号;
2.将加入白噪声的信号作为一个整体,然后进行EMD分解,得到各IMF分量；
3.重复步骤1和2,每次加入新的正态分布白噪声序列;
4.将每次得到的IMF做集成平均处理后作为最终结果。
用EEMD对上面的间歇信号x(t)进行分解，检验EEMD能否克服EMD的模态混叠。
如图3-8所示,可以获得第一阶本征模分量C1，第二阶本征模分量C2，第三阶本征模分量C3，r3表示残余分量。EEMD把x(t)独立的分解为三个有模态分量和一个残余量。
由图3-8中可以看出第一阶本征模分量C1 第二阶本征模分量C2,和第三阶本征模分量C3,均只包含一种频率分量,没有模态混叠现象。因此结合图3-5仿真信号、图3-6仿真信号的EMD结果,得出EEMD能够有效地抑制EMD的模态混叠现象,分解效果优于EMD。
注：本文参考论文《基于集合经验模态分析的滚动轴承故障特征提取》
