二叉树-树形结构-天然的查找语义
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二叉树-树形结构-天然的查找语义
二叉树的主要难点
什么时候能用递归？
如何写递归程序：
一，为何要有树结构？
二，数据结构常用的树结构 logN
三，关于树的基础概念
概念
树与非树？
树中需要了解的概念
其余：
四，二叉树***
概念：
二叉树的特点:
两种特殊的二叉树
五，二叉树的性质
六，二叉树的存储方式
七，二叉树的遍历
遍历：
深度优先遍历
广度优先遍历
八，二叉树的其他基础操作
获取结点个数:
求一颗二叉树中叶子结点个数：
注意：
判断当前二叉树中是否含有寻找元素：
求二叉树的高度：
九，用代码实现一颗完整的二叉树，并实现其基础功能进行测试
二叉树的主要难点
二叉树的主要难点在于递归的使用。
什么时候能用递归？
1.大问题可以拆分为小问题
2.拆分后小问题和原问题除了规模不同，解决思路完全一样
3.存在递归的终止条件，拆分拆到底的条件
如何写递归程序：
千万不要纠结递归具体怎么运行的，要会使用递归的语义来解决问题。
一，为何要有树结构？
因为树结构可以高效的进行查找和搜索。
比如
电脑中的文件系统，就是一个树形结构。
为什么不用线性结构？
线性结构是构成文件逻辑上连续，成一条直线排列。如果检索特定的某个文件，就要遍历这个集合复杂度为O(n)。
而用树结构查找特定文件其时间复杂度实际上就是文件数的深度logN。
因此，将数据使用树形结构来存储后，再次进行检索或查找，效率比线性结构高得多！
二，数据结构常用的树结构 logN
（回溯算法解决树形问题时，也是logN级别；排序：nlogN的排序算法，堆排序、快速排序、归并排序）以后看到logN就要首先想到树结构
BST（二分搜索树）- 二叉树的元素查找
平衡二分搜索树 - AVL（严格平衡树），红黑树（非严格平衡）
堆
并查集
字符串 - 线段树；字典树（Trie）
三，关于树的基础概念
概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成的具有层次关系的集合，把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂着的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
- 有一个特殊的节点，成为根节点（A），根节点没有前驱节点。
- 除根节点外，其余节点被分成M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、…….、Tm，其中每一个集合T又是一颗与树类似的子树，每棵子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 树是递归定义的。
树与非树？
子树是不相交的。
除了根节点外，每个结点有且仅有一个父结点。
一颗N个结点的树有N-1条边。
上图中，图中每个单元称为节点，A，B都称为节点
树中需要了解的概念
a,节点的度：该节点含有的子树的个数就称为节点的度
A节点的度6
D节点的度1
F节点的度3
b,树的度：该树中最大的结点的度就是该树的度
上图中的树度为6，成为6叉树
c,叶子结点（终端节点）：度为零的节点称为叶子结点
上图中的BCHIPQKLMN都属于叶子结点
d,对于A和B这两个结点而言
双亲结点/父节点 A
孩子节点/子节点 B
e,根节点：树中没有父节点的结点称为根节点，A就是根节点
f,节点的层次：从根节点开始计算，根节点是第一层，A的层次就是1，以此类推
g,树的高度：结点的最大层次，上图中树的高度就为4
其余：
- 非终端节点：度不为0的节点
- 兄弟节点：具有相同的父节点互称为兄弟节点
- 唐兄弟节点：父节点在同一层的节点
- 节点的祖先：从根到该节点所经分支的所有节点
- 以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
- 森林： 由 m ( m>=0 )棵互不相交的树的集合
四，二叉树***
概念：
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
二叉树的特点:
1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
两种特殊的二叉树
满二叉树：满二叉树中，所有非叶子结点的度都为2。
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果 一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
对于一颗二叉树来讲，
1，高度为k，则该二叉树最多有2^k-1个结点（最多的情况就是满二叉树）
2，层次为k，第k层最多有2^(k-1)个结点，上图中，第三层最多为2^(3-1) = 4
3，边长和节点个数关系
边长 = 结点个数 - 1
设度为0的节点个数为n0，度为1的结点个数为n1，度为2的结点个数为n2。
= > n0 = n2 + 1 (叶子结点的个数 = 度为2的结点个数 + 1)
设总的结点个数为n
= > 边长 = n - 1
完全二叉树：
实际上就是满二叉树缺了个右下角（只能缺叶子结点的最右边，不能中间有隔开空缺）不存在只有右子树没有左子树的情况
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全 二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
五，二叉树的性质
- 若规定 根节点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层上最多有 (i>0) 个结点
- 若规定只有 根节点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是 (k>=0)
- 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 = n2 + 1
- 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 上取整
- 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为 i 的结点有 :
- 若i>0，双亲序号:(i-1)/2; i=0，i为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1<n，左孩子序号: 2i+1，否则无左孩子
- 若2i+2<n，右孩子序号: 2i+2，否则无右孩子
六，二叉树的存储方式
和链表一样，有顺序存储和链式存储（引用）
顺序存储，将二叉树采用数组方式存储（只能存储完全二叉树，在堆里使用）
普通的二叉树我们采用引用方式来存储
class TreeNode<E> {
E val;
TreeNode left;//左子树根节点
TreeNode right;//右子树根节点
//还可以定义父节点，平衡树会用到
TreeNode parent;//父节点的地址
}
七，二叉树的遍历
遍历：
按照一定的顺序“访问”（根据不同的场景，访问的需求是不同的，打印结点值或是计算结点个数）这个集合的所有元素，不重复，不遗漏。
对于二叉树这种非线性结构而言，遍历比线性结构复杂的多，四大遍历方式。对于二叉树而言，遍历是其他操作的基础
深度优先遍历
前序遍历(preOrder)：根左右
先访问根节点，递归访问左子树，递归访问右子树
以上图为例前序遍历结果为：ABDEHCFG。
结论：
前序遍历结果集中，第一个输出的一定是当前树的根节点。
代码实现
public static void preOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
//先访问根节点
System.out.print(root.val + " ");
//递归访问左树
preOrder(root.left);
//递归访问右树
preOrder(root.right);
}
中序遍历(inOrder)：左根右
先递归访问左子树，然后访问根节点，最后递归访问右子树
以上图为例中序遍历结果为：DBEHAFCG
结论：
在中序遍历结果中，左子树的遍历结果在根节点的左侧，右子树的遍历结果在根节点的右侧
代码实现
public static void inOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
//先递归访问左树
inOrder(root.left);
//然后访问根节点
System.out.print(root.val + " ");
//最后递归访问右树
inOrder(root.right);
}
后序遍历(postOrder)：左右根
先递归访问左子树，然后递归访问右子树，最后访问根节点
以上图为例后序遍历结果为：DHEBFGCA
结论：
后序结果集中，最后一个才是根节点，后序结果集的转置输出恰好是前序遍历的镜像 - 根右左
代码实现
public static void postOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
//先递归访问左树
postOrder(root.left);
//然后递归访问右树
postOrder(root.right);
//最后访问根节点
System.out.print(root.val + " ");
}
广度优先遍历
层序遍历(leveOrder)：
按照二叉树的层次一层层访问结点，先左再右
代码实现
public static void leveOrder(TreeNode root) {
if (root == null) {
return;
}
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
//此时树不为空，将根节点入队
queue.offer(root);
while (!queue.isEmpty()) {
//取出队首元素
TreeNode cur = queue.poll();
//输出队首元素的的值
System.out.print(cur.val + " ");
//当前节点还有子节点，将子节点从左到右依次入队
if (cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
}
八，二叉树的其他基础操作
获取结点个数:
getNodes(TreeNode root)传入根节点获取二叉树节点个数
代码实现
/**
* 传入根节点，统计出节点个数
* @param root
* @return 结点个数
*/
public static int getNodes(TreeNode root) {
//当前节点为空，边界条件
if (root == null) {
return 0;
}
//当前节点不为空，统计当前节点，然后加上左右子树节点数
return 1 + getNodes(root.left) + getNodes(root.right);
}
求一颗二叉树中叶子结点个数：
getLeafNodes(TreeNode root)入根节点获取二叉树叶子节点个数
/**
* 传入根节点，统计叶子结点个数
* @param root
* @return
*/
public static int getLeafNode(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
//当前为叶子结点,加一
if (root.left == null && root.right == null) {
return 1;
}
//当前树不为空，且存在子树
return getLeafNode(root.left) + getLeafNode(root.right);
}
注意：
递归函数实际上具体的处理过程都在终止条件，递归过程只是将多个结果拼接起来而已
判断当前二叉树中是否含有寻找元素：
Contains(TreeNode root, char val)传入二叉树和寻找值
/**
* 传入一个树和一个值，判断当前树中是否含有该元素
* @param root
* @param val
* @return true/false
*/
public static boolean contains(TreeNode root,char val) {
if (root == null) {
return false;
}
//当前节点值等于所传入值
if (root.val == val) {
return true;
}
//二叉数不为空，且当前节点值不等于所传入值，在子树中继续寻找
return contains(root.left,val) || contains(root.right,val);
}
求二叉树的高度：
height(TreeNode root)传入二叉树根节点
/**
* 传入一个以root为根节点的二叉树，就能求出该树的高度
*
* @param root
* @return 树的高度
*/
public static int height(TreeNode root) {
if (root == null) {
return 0;
}
return 1 + Math.max(height(root.left), height(root.right));
}
