最小二乘回归

w = read.table
> w = read.table("COfreewy.txt",header = T)
> a = lm(CO~.,w)
> summary(a)

Call:
lm(formula = CO ~ ., data = w)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-0.75030 -0.33275 -0.09021  0.22653  1.25112 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  1.318967   0.242522   5.439 2.53e-05 ***
Hour        -0.005689   0.017066  -0.333  0.74233    
Traffic      0.018402   0.001413  13.026 3.15e-11 ***
Wind         0.179189   0.059517   3.011  0.00691 ** 
---
Signif. codes:  
0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.5096 on 20 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9498,	Adjusted R-squared:  0.9423 
F-statistic: 126.1 on 3 and 20 DF,  p-value: 3.682e-13

容易得出R2和调整R2分别为0.9498,0.9432。其实这个回归效果已经很不错了。但是，此例题中涉及到的自变量较少，现实生活中我们经常遇到的是大数据，那就需要对自变量进行筛选，此处使用的是逐步回归的方法，

逐步回归

  逐步回归在做多元线性回归分析时使用,当自变量较多时,我们需要选择对因变量有显著影响的变量,而舍去对因变量无显著影响的变量。
  逐步回归有向前逐步回归（forward），后向逐步回归（backward），以及双向逐步回归（both）

向前逐步回归

  思想是变量由少到多，属于贪心算法，每次增加一个，直至没有可引入的变量为止。

后向逐步回归

  与向前逐步回归相反，将所有变量均放入模型，之后尝试将其中一个自变量从模型中剔除，看整个模型解释因变量是否有显著性变化，之后将对残差平方和贡献较小的变量剔除，此过程不断迭代，直至没有自变量符合剔除的条件。

双向逐步回归

  将前两种方法结合起来。

以下是逐步回归的R代码：

b = step(a,direction = "backward")  #后向逐步回归
Start:  AIC=-28.73
CO ~ Hour + Traffic + Wind

          Df Sum of Sq    RSS     AIC
- Hour     1     0.029  5.224 -30.597
<none>                  5.195 -28.730
- Wind     1     2.354  7.549 -21.759
- Traffic  1    44.070 49.265  23.260

Step:  AIC=-30.6
CO ~ Traffic + Wind

          Df Sum of Sq    RSS     AIC
<none>                  5.224 -30.597
- Wind     1     2.357  7.581 -23.659
- Traffic  1    46.117 51.341  22.250
> shapiro.test(b$res)#残差的正态性检验

	Shapiro-Wilk normality test

data:  b$res
W = 0.91918, p-value = 0.05601
c = step(a,direction = "forward") ##向前逐步回归
Start:  AIC=-28.73
CO ~ Hour + Traffic + Wind

> d = step(a,direction = "both") ##双向逐步回归
Start:  AIC=-28.73
CO ~ Hour + Traffic + Wind

          Df Sum of Sq    RSS     AIC
- Hour     1     0.029  5.224 -30.597
<none>                  5.195 -28.730
- Wind     1     2.354  7.549 -21.759
- Traffic  1    44.070 49.265  23.260

Step:  AIC=-30.6
CO ~ Traffic + Wind

          Df Sum of Sq    RSS     AIC
<none>                  5.224 -30.597
+ Hour     1     0.029  5.195 -28.730
- Wind     1     2.357  7.581 -23.659
- Traffic  1    46.117 51.341  22.250
> shapiro.test(c$res)#残差的正态性检验

	Shapiro-Wilk normality test

data:  c$res
W = 0.93027, p-value = 0.09885

> shapiro.test(d$res)#残差的正态性检验

	Shapiro-Wilk normality test

data:  d$res
W = 0.91918, p-value = 0.05601

  以上使用了三种逐步回归，其中backward和both出来的模型是一样的，都删去了Hour这个自变量，残差的正态性检验结果也一致。而forward就没有删去任何自变量，也可以看出它的残差正态性检验结果就不太理想。
  在这里使用了AIC在逐步回归语句中选择变量，AIC越小的模型更优

Box-Cox变换

  为了使得经典线性模型所需要的正态性假定成立，常常对因变量使用Box-Cox变换，以使其接近正态形状。
  同样先引入一组数据，先用简单回归对其处理，代码如下：

u = read.csv("pharynx1.csv") ##读入数据
> x = 1:11;
> x = x[-c(5,11)] ##第5列和第11列为数值型数据,这样形成的x就是定性变量的下标
> for(i in x){
+ u[,i] = factor(u[,i])} ##把定性变量从数值型转换成因子型
> a = lm(TIME~.,data = u)
> summary(a)

Call:
lm(formula = TIME ~ ., data = u)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-748.78 -157.55  -45.12  122.42 1098.52 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  538.377    201.900   2.667 0.008395 ** 
INST2        114.148     81.441   1.402 0.162837    
INST3        275.375     82.169   3.351 0.000989 ***
INST4        138.432     86.658   1.597 0.111999    
INST5        124.042     86.963   1.426 0.155573    
INST6        213.470     85.577   2.494 0.013558 *  
SEX2          96.595     51.741   1.867 0.063616 .  
TX2          -60.311     43.458  -1.388 0.166994    
GRADE2        73.131     56.425   1.296 0.196688    
GRADE3        32.436     70.346   0.461 0.645310    
GRADE9      -100.041    307.113  -0.326 0.745011    
AGE            3.658      1.990   1.839 0.067680 .  
COND2       -244.410     53.205  -4.594 8.39e-06 ***
COND9       -205.640    300.213  -0.685 0.494278    
SITE2         29.993     57.101   0.525 0.600073    
SITE4         19.483     55.965   0.348 0.728171    
T.STAGE2     196.903    115.786   1.701 0.090829 .  
T.STAGE3     117.585    106.816   1.101 0.272518    
T.STAGE4      73.922    111.557   0.663 0.508450    
N.STAGE1      -2.417     73.812  -0.033 0.973912    
N.STAGE2     -58.033     76.753  -0.756 0.450626    
N.STAGE3     -62.284     61.369  -1.015 0.311571    
STATUS1     -570.484     50.458 -11.306  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 288.7 on 172 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5786,	Adjusted R-squared:  0.5246 
F-statistic: 10.73 on 22 and 172 DF,  p-value: < 2.2e-16

  R2和修正R2分别为0.5786和0.5246，很明显该模型是不理想的。**因此我们尝试对因变量TIME做Box-Cox变换，**代码如下：

library(MASS)
> b = boxcox(TIME~.,data = u) #作图找出y最大时对应的lambda
> I = which(b$y == max(b$y)) 
> b$x[I]
[1] 0.3838384

  我们找到了lambda = 0.38,为了方便，我们取lanbda = 0.4，再用TIME0.4去做拟合，代码如下：

a = lm(TIME^0.4 ~ INST + SEX + TX + AGE + COND + T.STAGE + N.STAGE + STATUS,data = u)
> b = step(a)
Start:  AIC=382.46
TIME^0.4 ~ INST + SEX + TX + AGE + COND + T.STAGE + N.STAGE + 
    STATUS

          Df Sum of Sq    RSS    AIC
- N.STAGE  3     14.25 1166.8 378.85
- T.STAGE  3     30.20 1182.7 381.50
<none>                 1152.5 382.46
- TX       1     12.47 1165.0 382.56
- INST     5     68.12 1220.6 383.65
- SEX      1     21.07 1173.6 383.99
- AGE      1     35.04 1187.5 386.30
- COND     2    240.06 1392.6 415.35
- STATUS   1    722.34 1874.8 475.34

Step:  AIC=378.85
TIME^0.4 ~ INST + SEX + TX + AGE + COND + T.STAGE + STATUS

          Df Sum of Sq    RSS    AIC
- T.STAGE  3     31.28 1198.0 378.01
<none>                 1166.8 378.85
- TX       1     13.00 1179.8 379.01
- INST     5     73.49 1240.2 380.76
- SEX      1     25.87 1192.6 381.13
- AGE      1     44.11 1210.9 384.09
- COND     2    270.97 1437.7 415.58
- STATUS   1    743.33 1910.1 472.97

Step:  AIC=378.01
TIME^0.4 ~ INST + SEX + TX + AGE + COND + STATUS

         Df Sum of Sq    RSS    AIC
<none>                1198.0 378.01
- TX      1     17.69 1215.7 378.87
- SEX     1     33.08 1231.1 381.32
- AGE     1     47.30 1245.3 383.56
- INST    5    103.27 1301.3 384.14
- COND    2    276.75 1474.8 414.54
- STATUS  1    775.26 1973.3 473.32
> shapiro.test(b$res)

	Shapiro-Wilk normality test

data:  b$res
W = 0.9887, p-value = 0.1253

> summary(b)

Call:
lm(formula = TIME^0.4 ~ INST + SEX + TX + AGE + COND + STATUS, 
    data = u)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-7.0827 -1.6601 -0.2061  1.5701  7.7469 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 12.22806    1.17908  10.371  < 2e-16 ***
INST2        0.54717    0.68674   0.797  0.42663    
INST3        2.11339    0.68457   3.087  0.00233 ** 
INST4        0.87697    0.74530   1.177  0.24086    
INST5        0.44361    0.72487   0.612  0.54131    
INST6        1.65217    0.72815   2.269  0.02444 *  
SEX2         0.98922    0.44009   2.248  0.02579 *  
TX2         -0.61504    0.37413  -1.644  0.10191    
AGE          0.04519    0.01681   2.688  0.00785 ** 
COND2       -2.91885    0.45124  -6.468 8.77e-10 ***
COND9       -2.24497    2.60983  -0.860  0.39081    
STATUS1     -4.72356    0.43407 -10.882  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.559 on 183 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.5625,	Adjusted R-squared:  0.5362 
F-statistic: 21.39 on 11 and 183 DF,  p-value: < 2.2e-16

  经过Box-Cox变换后，用逐步回归剔除了变量后得到了一个回归模型，此模型的R2和修正R2分别为0.5625和0.5326，虽然关于拟合的F检验很显著（p值小于2.2*10-16）,但从R2来看，似乎结果仍然不太理想。

生存分析数据的Cox回归模型

  上个例子中的因变量TIME为典型的生存分析数据，常用Cox比例危险回归模型来对其建模，在生存分析中，研究的主要对象是寿命超过某一时间的概率。当然，生存分析模型不仅和寿命有关，还可以描述其他一些事件发生的概率，例如：产品的失效、出狱犯人第一次犯罪、失业人员第一次找到工作、青少年第一次吸毒等。
  首先我们用一下命令画出综合生存函数，代码如下：

library(survival)
library(ggplot2)
> library(survminer)
> fit = survfit(Surv(TIME,as.numeric(STATUS)) ~ TX,data = u) ##生存函数
>  ggsurvplot(fit, data = u,
+            pval = T, # 在图上添加log rank检验的p值
+            conf.int = T,# 添加置信区间
+            risk.table = T, # 在图下方添加风险表
+            legend.labs=c("TX = 1","TX = 2"), #表头标签注释男女
+            legend.title="Survival Function",#表头标签
+            title="Overall survival",#改一下整体名称
+            ylab="Cumulative survival (percentage)",xlab = " Time (Days)",#修改X轴Y轴名称
+            risk.table.col = "strata", # 风险表加颜色
+            linetype = "strata", # 生存曲线的线型
+            surv.median.line = "hv", # 标注出中位生存时间
+            ggtheme = theme_bw(), #背景布局
+            palette = c("red", "blue")) # 图形颜色风格

回归预测的r2小于0怎么办 回归r2很小_回归预测的r2小于0怎么办


  现在我们用Cox比例危险回归模型来拟合该数据，代码如下：

library(survival)
> fit = coxph(Surv(TIME,as.numeric(STATUS))~.,data = u) #Cox回归模型
> plot(survfit(fit))  #拟合的生存函数
> summary(fit) #回归结果

Cox比例危险模型的多重分数多项式模型（multiple fractional polynomial model）

  这个模型就是在Cox比例危险模型的基础上自动进行逐步回归及变量选择。上面如果只是用Cox比例危险模型不足以建立一个很好的模型，因为从输出结果上看，许多变量并不显著，因此，可以减少一些变量来优化模型。故而引入这个模型。还是以上题的数据为例，建立Cox比例危险模型的多重分数多项式模型，代码如下：

library(mfp)
> f = mfp(Surv(TIME,as.numeric(STATUS))~fp(AGE,df = 4,select = 0.05)+INST+SEX+TX+GRADE+COND+SITE+T.STAGE+N.STAGE,family = cox,data = u)
> print(f)
rsq = 1-sum((f$residuals)^2)/sum((u$TIME-mean(u$TIME))^2)   #计算R^2
> rsq
[1] 0.9999954

  可看出似然比检验的p值都很小，且R2为0.999，该模型明显比前面拟合的要好。

数据出现多重共线性情况

  在多元回归中，当两个或更多的自变量有些相关的时候，就有可能出现多重共线性的情况。当多重共线性严重时，模型或数据的微小变化有可能造成系数估计的较大变化，这使得结果模型不稳定，也不易解释。一般来说，只要不存在严重共线性，对预测不会有较大影响，但高度的多重共线性会造成计算困难，比如矩阵的逆可能会很不稳定。
  关于多重共线性的度量：容忍度、方差膨胀因子（VIF）和条件数。容忍度太小或VIF太大（比如大于5或10），则有多重共线性问题。当条件数>15时，有共线性问题；而条件数>30时，说明共线性问题严重。

岭回归

Lasso回归

适应性Lasso回归

偏最小二乘回归

主成分回归