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回归问题：
基本步骤：以线性模型为例
step1：模型假设，选择模型框架（线性模型）
step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）
进一步地：
1.引入1元N次线性函数以构建更强大复杂的模型。
2.输入处理
3.正则化 Regularization
demo
ref
回归问题：
建立输入输出的映射关系，相较于分类问题，回归问题的输出为连续数值。
基本步骤：以线性模型为例
下述三个步骤以李宏毅机器学习为框架，结合自身有关认识做整理：
step1：模型假设，选择模型框架（线性模型）
对于线性模型Linear model，依据特征数量多少可分为一元线性模型和多元线性模型。模型可假设为：
：就是各种特征(fetrure)，对于一元线性模型，仅有1个特征。
：各个特征的权重 wcp,whp,ww,wh,⋅⋅w_{cp},w_{hp},w_w,w_h,··wcp,whp,ww,wh,⋅⋅
：偏移量
step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
对于训练好的模型，如何评价模型拟合的好坏？损失函数即是用来指定优化方向、评价训练效果。
损失函数评价模型预测性能，可用的有k阶距、中心距、原点矩等指标，最常用的是二阶矩。
线性问题类似于最小二乘方法。
step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）
根据计算得到的损失函数数值，需要将误差进行反向传播以修正模型中的参数。
具体来说，
步骤1：随机选取一个 w0
步骤2：计算微分，也就是当前的斜率，根据斜率来判定移动的方向
大于0向右移动（增加w）
小于0向左移动（减少w）
步骤3：根据学习率（下图中 \eta 参数）移动
重复步骤2和步骤3，直到找到最低点
w和b优化方法相同。以w为例，结合最大似然估计方法，
下降速率的求解方法按照梯度进行：
梯度下降存在的问题：critical points（局部最小、局部最大、鞍点）、梯度爆炸、梯度消失
- 问题1：当前最优（Stuck at local minima）
- 问题2：等于0（Stuck at saddle point）
- 问题3：趋近于0（Very slow at the plateau）
进一步地：
1.引入1元N次线性函数以构建更强大复杂的模型。
毫无疑问，这使得模型的拟合能力提升，但同时导致随着模型参数的增多、对于训练数据拟合能力的增强，有可能产生过拟合的问题，即模型对于训练数据拟合良好、但对于验证或测试数据表现不佳。
2.输入处理
将不同特征组合成矩阵作为一个输入构建预测模型，同时尽可能增加特征到模型中来
3.正则化 Regularization
- w 越小，表示 function 较平滑的， function输出值与输入值相差不大
- 在很多应用场景中，并不是 w 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 w越小大部分情况下都是好的。
- b的值接近于0 ，对曲线平滑是没有影响
应该来说，w越小，对应的输入越不敏感，反映到loss function上就越平滑。
demo
按照线性模型进行预测，采用梯度下降来找到合适的w和b。
需要环境：Python、numpy、matplotlib、pylab
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
# matplotlib没有中文字体，动态解决
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei'] # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
x_d = np.asarray(x_data)
y_d = np.asarray(y_data)
x = np.arange(-200, -100, 1)
y = np.arange(-5, 5, 0.1)
Z = np.zeros((len(x), len(y)))
X, Y = np.meshgrid(x, y)
# loss
for i in range(len(x)):
for j in range(len(y)):
b = x[i]
w = y[j]
Z[j][i] = 0 # meshgrid吐出结果：y为行，x为列
for n in range(len(x_data)):
Z[j][i] += (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2
Z[j][i] /= len(x_data)
# 先给b和w一个初始值，计算出b和w的偏微分
# linear regression
#b = -120
#w = -4
b=-2
w=0.01
lr = 0.000005
iteration = 1400000
b_history = [b]
w_history = [w]
loss_history = []
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
m = float(len(x_d))
y_hat = w * x_d +b
loss = np.dot(y_d - y_hat, y_d - y_hat) / m
grad_b = -2.0 * np.sum(y_d - y_hat) / m
grad_w = -2.0 * np.dot(y_d - y_hat, x_d) / m
# update param
b -= lr * grad_b
w -= lr * grad_w
b_history.append(b)
w_history.append(w)
loss_history.append(loss)
if i % 10000 == 0:
print("Step %i, w: %0.4f, b: %.4f, Loss: %.4f" % (i, w, b, loss))
end = time.time()
print("大约需要时间：",end-start)
# plot the figure
plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet')) # 填充等高线
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange")
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")
plt.show()
