MATLAB 入门教程
1 . MATLAB 的基本知识
1-1 、基本运算与函数
在 MATLAB 下进行基本数学运算,只需将运算式直接打入提示号( >> )之後,并按入 Enter 键即可。例如:
>> (5*2+1.3-0.8)*10/25
ans =4.2000
MATLAB 会将运算结果直接存入一变数 ans ,代表 MATLAB 运算後的答案( Answer )并显示其数值於萤幕上。
小提示: ">>" 是 MATLAB 的提示符号( Prompt ),但在 PC 中文视窗系统下,由於编码方式不同,此提示符号常会消失不见,但这并不会影响到 MATLAB 的运算结果。
我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数 x :
x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25
x = 42
此时 MATLAB 会直接显示 x 的值。由上例可知, MATLAB 认识所有一般常用到的加( + )、减( - )、乘( * )、除( / )的数学运算符号,以及幂次运算( ^ )。
小提示: MATLAB 将所有变数均存成 double 的形式,所以不需经过变数宣告( Variable declaration )。 MATLAB 同时也会自动进行记忆体的使用和回收,而不必像 C 语言 , 必须由使用者一一指定 . 这些功能使的 MATLAB 易学易用,使用者可专心致力於撰写程式,而不必被软体枝节问题所干扰。
若不想让 MATLAB 每次都显示运算结果,只需在运算式最後加上分号(;)即可,如下例:
y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);
若要显示变数 y 的值,直接键入 y 即可:
>>y
y =-0.0045
在上例中, sin 是正弦函数, exp 是指数函数,这些都是 MATLAB 常用到的数学函数。
下表即为 MATLAB 常用的基本数学函数及三角函数:
小整理: MATLAB 常用的基本数学函数
abs(x) :纯量的绝对值或向量的长度
angle(z) :复 数 z 的相角 (Phase angle)
sqrt(x) :开平方
real(z) :复数 z 的实部
imag(z) :复数 z 的虚 部
conj(z) :复数 z 的共轭复数
round(x) :四舍五入至最近整数
fix(x) :无论正负,舍去小数至最近整数
floor(x) :地板函数,即舍去正小数至最近整数
ceil(x) :天花板函数,即加入正小数至最近整数
rat(x) :将实数 x 化为分数表示
rats(x) :将实数 x 化为多项分数展开
sign(x) :符号函数 (Signum function) 。
当 x<0 时, sign(x)=-1 ;
当 x=0 时, sign(x)=0;
当 x>0 时, sign(x)=1 。
> 小整理: MATLAB 常用的三角函数
sin(x) :正弦函数
cos(x) :馀弦函数
tan(x) :正切函数
asin(x) :反正弦函数
acos(x) :反馀弦函数
atan(x) :反正切函数
atan2(x,y) :四象限的反正切函数
sinh(x) :超越正弦函数
cosh(x) :超越馀弦函数
tanh(x) :超越正切函数
asinh(x) :反超越正弦函数
acosh(x) :反超越馀弦函数
atanh(x) :反超越正切函数
变数也可用来存放向量或矩阵,并进行各种运算,如下例的列向量( Row vector )运算:
x = [1 3 5 2];
y = 2*x+1
y = 3 7 11 5
小提示:变数命名的规则
1. 第一个字母必须是英文字母 2. 字母间不可留空格 3. 最多只能有 19 个字母, MATLAB 会忽略多馀字母
我们可以随意更改、增加或删除向量的元素:
y(3) = 2 % 更改第三个元素
y =3 7 2 5
y(6) = 10 % 加入第六个元素
y = 3 7 2 5 0 10
y(4) = [] % 删除第四个元素,
y = 3 7 2 0 10
在上例中, MATLAB 会忽略所有在百分比符号( % )之後的文字,因此百分比之後的文字均可视为程式的注解( Comments )。 MATLAB 亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算:
x(2)*3+y(4) % 取出 x 的第二个元素和 y 的第四个元素来做运算
ans = 9
y(2:4)-1 % 取出 y 的第二至第四个元素来做运算
ans = 6 1 -1
在上例中, 2:4 代表一个由 2 、 3 、 4 组成的向量
若对 MATLAB 函数用法有疑问,可随时使用 help 来寻求线上支援( on-line help ): help linspace
小整理: MATLAB 的查询命令
help :用来查询已知命令的用法。例如已知 inv 是用来计算反矩阵,键入 help inv 即可得知有关 inv 命令的用法。(键入 help help 则显示 help 的用法,请试看看!) lookfor :用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令,可键入 lookfor inverse , MATLAB 即会列出所有和关键字 inverse 相关的指令。找到所需的命令後 ,即可用 help 进一步找出其用法。( lookfor 事实上是对所有在搜寻路径下的 M 档案进行关键字对第一注解行的比对,详见後叙。)
将列向量转置( Transpose )後,即可得到行向量( Column vector ):
z = x'
z = 4.0000
5.2000
6.4000
7.6000
8.8000
10.0000
不论是行向量或列向量,我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等:
length(z) % z 的元素个数
ans = 6
max(z) % z 的最大值
ans = 10
min(z) % z 的最小值
ans = 4
小整理:适用於向量的常用函数有:
min(x): 向量 x 的元素的最小值
max(x): 向量 x 的元素的最大值
mean(x): 向量 x 的元素的平均值
median(x): 向量 x 的元素的中位数
std(x): 向量 x 的元素的标准差
diff(x): 向量 x 的相邻元素的差
sort(x): 对向量 x 的元素进行排序( Sorting )
length(x): 向量 x 的元素个数
norm(x): 向量 x 的欧氏( Euclidean )长度
sum(x): 向量 x 的元素总和
prod(x): 向量 x 的元素总乘积
cumsum(x): 向量 x 的累计元素总和
cumprod(x): 向量 x 的累计元素总乘积
dot(x, y): 向量 x 和 y 的内 积
cross(x, y): 向量 x 和 y 的外积 (大部份的向量函数也可适用於矩阵,详见下述。)
若要输入矩阵,则必须在每一列结尾加上分号(;),如下例:
A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];
A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
同样地,我们可以对矩阵进行各种处理:
A(2,3) = 5 % 改变位於第二列,第三行的元素值
A =
1 2 3 4
5 6 5 8
9 10 11 12
B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵 B
B = 5 6 5
A = [A B'] % 将 B 转置後以行向量并入 A
A =
1 2 3 4 5
5 6 5 8 6
9 10 11 12 5
A(:, 2) = [] % 删除第二行(:代表所有列)
A =
1 3 4 5
5 5 8 6
9 11 12 5
A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列
A =
1 3 4 5
5 5 8 6
9 11 12 5
4 3 2 1
A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列(:代表所有行)
A =
5 5 8 6
9 11 12 5
这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用,产生各种意想不到的效果,就看各位的巧思和创意。
小提示:在 MATLAB 的内部资料结构中 , 每一个矩阵都是一个以行为主( Column-oriented )的阵列( Array )因此对於矩阵元素的存取,我们可用一维或二维的索引( Index )来定址。举例来说,在上述矩阵 A 中,位於第二列、第三行的元素可写为 A(2,3) (二维索引)或 A(6) (一维索引,即将所有直行进行堆叠後的第六个元素)。
此外,若要重新安排矩阵的形状,可用 reshape 命令:
B = reshape(A, 4, 2) % 4 是新矩阵的列数, 2 是新矩阵的行数
B =
5 8
9 12
5 6
11 5
小提示: A(:) 就是将矩阵 A 每一列堆叠起来,成为一个行向量,而这也是 MATLAB 变数的内部储存方式。以前例而言, reshape(A, 8, 1) 和 A(:) 同样都会产生一个 8x1 的矩阵。
MATLAB 可在同时执行数个命令,只要以逗号或分号将命令隔开:
x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,
z =
7.5000
若一个数学运算是太长,可用三个句点将其延伸到下一行:
z = 10*sin(pi/3)* ...
sin(pi/3);
若要检视现存於工作空间( Workspace )的变数,可键入 who :
who
Your variables are:
testfile x
这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料,可键入:
whos
Name Size Bytes Class
A 2x4 64 double array
B 4x2 64 double array
ans 1x1 8 double array
x 1x1 8 double array
y 1x1 8 double array
z 1x1 8 double array
Grand total is 20 elements using 160 bytes
使用 clear 可以删除工作空间的变数:
clear A
A
??? Undefined function or variable 'A'.
另外 MATLAB 有些永久常数( Permanent constants ),虽然在工作空间中看不 到,但使用者可直接取用,例如:
pi
ans = 3.1416
下表即为 MATLAB 常用到的永久常数。
小整理: MATLAB 的永久常数 i 或 j :基本虚数单位
eps :系统的浮点( Floating-point )精确度
inf :无限大, 例如 1/0 nan 或 NaN :非数值( Not a number ) ,例如 0/0
pi :圆周率 p ( = 3.1415926... )
realmax :系统所能表示的最大数值
realmin :系统所能表示的最小数值
nargin: 函数的输入引数个数
nargin: 函数的输出引数个数
1-2 、重复命令
最简单的重复命令是 for 圈( for-loop ),其基本形式为:
for 变数 = 矩阵;
运算式;
end
其中变数的值会被依次设定为矩阵的每一行,来执行介於 for 和 end 之间的运算式。因此 , 若无意外情况,运算式执行的次数会等於矩阵的行数。
举例来说,下列命令会产生一个长度为 6 的调和数列( Harmonic sequence ):
x = zeros(1,6); % x 是一个 16 的零矩阵
for i = 1:6,
x(i) = 1/i;
end
在上例中,矩阵 x 最初是一个 16 的零矩阵,在 for 圈中,变数 i 的值依次是 1 到 6 ,因此矩阵 x 的第 i 个元素的值依次被设为 1/i 。我们可用分数来显示此数列:
format rat % 使用分数来表示数值
disp(x)
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
for 圈可以是多层的,下例产生一个 16 的 Hilbert 矩阵 h ,其中为於第 i 列、第 j 行的元素为
h = zeros(6);
for i = 1:6,
for j = 1:6,
h(i,j) = 1/(i+j-1);
end
end
disp(h)
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6
1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7
1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8
1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9
1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10
1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11
小提示:预先配置矩阵 在上面的例子,我们使用 zeros 来预先配置( Allocate )了一个适当大小的矩阵。若不预先配置矩阵,程式仍可执行,但此时 MATLAB 需要动态地增加(或减小)矩阵的大小,因而降低程式的执行效率。所以在使用一个矩阵时,若能在事前知道其大小,则最好先使用 zeros 或 ones 等命令来预先配置所需的记忆体(即矩阵)大小。
在下例中, for 圈列出先前产生的 Hilbert 矩阵的每一行的平方和:
for i = h,
disp(norm(i)^2); % 印出每一行的平方和
end
1299/871
282/551
650/2343
524/2933
559/4431
831/8801
在上例中,每一次 i 的值就是矩阵 h 的一行,所以写出来的命令特别简洁。
令一个常用到的重复命令是 while 圈,其基本形式为:
while 条件式;
运算式;
end
也就是说,只要条件示成立,运算式就会一再被执行。例如先前产生调和数列的例子,我们可用 while 圈改写如下:
x = zeros(1,6); % x 是一个 16 的零矩阵
i = 1;
while i <= 6,
x(i) = 1/i;
i = i+1;
end
format short
1-3 、逻辑命令
最简单的逻辑命令是 if, ..., end ,其基本形式为:
if 条件式;
运算式;
end
if rand(1,1) > 0.5,
disp('Given random number is greater than 0.5.');
end
Given random number is greater than 0.5.
1-4 、集合多个命令於一个 M 档案
若要一次执行大量的 MATLAB 命令,可将这些命令存放於一个副档名为 m 的档案,并在 MATLAB 提示号下键入此档案的主档名即可。此种包含 MATLAB 命令的档案都以 m 为副档名,因此通称 M 档案( M-files )。例如一个名为 test.m 的 M 档案,包含一连串的 MATLAB 命令,那麽只要直接键入 test ,即可执行其所包含的命令:
pwd % 显示现在的目录
ans =
D:/MATLAB5/bin
cd c:/data/mlbook % 进入 test.m 所在的目录
type test.m % 显示 test.m 的内容
% This is my first test M-file.
% Roger Jang, March 3, 1997
fprintf('Start of test.m!/n');
for i = 1:3,
fprintf('i = %d ---> i^3 = %d/n', i, i^3);
end
fprintf('End of test.m!/n');
test % 执行 test.m
Start of test.m!
i = 1 ---> i^3 = 1
i = 2 ---> i^3 = 8
i = 3 ---> i^3 = 27
End of test.m!
小提示:第一注解行( H1 help line ) test.m 的前两行是注解,可以使程式易於了解与管理。特别要说明的是,第一注解行通常用来简短说明此 M 档案的功能,以便 lookfor 能以关键字比对的方式来找出此 M 档案。举例来说, test.m 的第一注解行包含 test 这个字,因此如果键入 lookfor test , MATLAB 即可列出所有在第一注解行包含 test 的 M 档案,因而 test.m 也会被列名在内。
严格来说, M 档案可再细分为命令集( Scripts )及函数( Functions )。前述的 test.m 即为命令集,其效用和将命令逐一输入完全一样,因此若在命令集可以直接使用工作空间的变数,而且在命令集中设定的变数,也都在工作空间中看得到。函数则需要用到输入引数( Input arguments )和输出引数( Output arguments )来传递资讯,这就像是 C 语言的函数 , 或是 FORTRAN 语言的副程序( Subroutines )。举例来说,若要计算一个正整数的阶乘 ( Factorial ),我们可以写一个如下的 MATLAB 函数并将之存档於 fact.m :
function output = fact(n)
% FACT Calculate factorial of a given positive integer.
output = 1;
for i = 1:n,
output = output*i;
end
其中 fact 是函数名, n 是输入引数, output 是输出引数,而 i 则是此函数用到的暂时变数。要使用此函数,直接键入函数名及适当输入引数值即可:
y = fact(5)
y = 120
(当然,在执行 fact 之前,你必须先进入 fact.m 所在的目录。)在执行 fact(5) 时,
MATLAB 会跳入一个下层的暂时工作空间( Temperary workspace ),将变数 n 的值设定为 5 ,然後进行各项函数的内部运算,所有内部运算所产生的变数(包含输入引数 n 、暂时变数 i ,以及输出引数 output )都存在此暂时工作空间中。运算完毕後, MATLAB 会将最後输出引数 output 的值设定给上层的变数 y ,并将清除此暂时工作空间及其所含的所有变数。换句话说,在呼叫函数时,你只能经由输入引数来控制函数的输入,经由输出引数来得到函数的输出,但所有的暂时变数都会随着函数的结束而消失,你并无法得到它们的值。
小提示:有关阶乘函数 前面(及後面)用到的阶乘函数只是纯粹用来说明 MATLAB 的函数观念。若实际要计算一个正整数 n 的阶乘(即 n! )时,可直接写成 prod(1:n) ,或是直接呼叫 gamma 函数: gamma(n-1) 。
MATLAB 的函数也可以是递式的( Recursive ),也就是说,一个函数可以呼叫它本身。
举例来说, n! = n*(n-1)! ,因此前面的阶乘函数可以改成递式的写法:
function output = fact(n)
% FACT Calculate factorial of a given positive integer recursively.
if n == 1, % Terminating condition
output = 1;
return;
end
output = n*fact(n-1);
在写一个递函数时,一定要包含结束条件( Terminating condition ),否则此函数将会一再呼叫自己,永远不会停止,直到电脑的记忆体被耗尽为止。以上例而言, n==1 即满足结束条件,此时我们直接将 output 设为 1 ,而不再呼叫此函数本身。
1-5 、搜寻路径
在前一节中, test.m 所在的目录是 d:/mlbook 。如果不先进入这个目录, MATLAB 就找不到你要执行的 M 档案。如果希望 MATLAB 不论在何处都能执行 test.m ,那麽就必须将 d:/mlbook 加入 MATLAB 的搜寻路径( Search path )上。要检视 MATLAB 的搜寻路径,键入 path 即可:
path
MATLABPATH
d:/matlab5/toolbox/matlab/general
d:/matlab5/toolbox/matlab/ops
d:/matlab5/toolbox/matlab/lang
d:/matlab5/toolbox/matlab/elmat
d:/matlab5/toolbox/matlab/elfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/specfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/matfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/datafun
d:/matlab5/toolbox/matlab/polyfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/funfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/sparfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/graph2d
d:/matlab5/toolbox/matlab/graph3d
d:/matlab5/toolbox/matlab/specgraph
d:/matlab5/toolbox/matlab/graphics
d:/matlab5/toolbox/matlab/uitools
d:/matlab5/toolbox/matlab/strfun
d:/matlab5/toolbox/matlab/iofun
d:/matlab5/toolbox/matlab/timefun
d:/matlab5/toolbox/matlab/datatypes
d:/matlab5/toolbox/matlab/dde
d:/matlab5/toolbox/matlab/demos
d:/matlab5/toolbox/tour
d:/matlab5/toolbox/simulink/simulink
d:/matlab5/toolbox/simulink/blocks
d:/matlab5/toolbox/simulink/simdemos
d:/matlab5/toolbox/simulink/dee
d:/matlab5/toolbox/local
此搜寻路径会依已安装的工具箱( Toolboxes )不同而有所不同。要查询某一命令是在搜寻路径的何处,可用 which 命令:
which expo
d:/matlab5/toolbox/matlab/demos/expo.m
很显然 c:/data/mlbook 并不在 MATLAB 的搜寻路径中,因此 MATLAB 找不到 test.m 这个 M 档案:
which test
c:/data/mlbook/test.m
要将 d:/mlbook 加入 MATLAB 的搜寻路径,还是使用 path 命令:
path(path, 'c:/data/mlbook');
此时 d:/mlbook 已加入 MATLAB 搜寻路径(键入 path 试看看),因此 MATLAB 已经 " 看 " 得到
test.m:
which test
c:/data/mlbook/test.m
现在我们就可以直接键入 test ,而不必先进入 test.m 所在的目录。
小提示:如何在其启动 MATLAB 时,自动设定所需的搜寻路径? 如果在每一次启动 MATLAB 後都要设定所需的搜寻路径,将是一件很麻烦的事。有两种方法,可以使 MATLAB 启动後 ,即可载入使用者定义的搜寻路径:
1.MATLAB 的预设搜寻路径是定义在 matlabrc.m (在 c:/matlab 之下,或是其他安装 MATLAB 的主目录下), MATLAB 每次启动後,即自动执行此档案。因此你可以直接修改 matlabrc.m ,以加入新的目录於搜寻路径之中。
2.MATLAB 在执行 matlabrc.m 时,同时也会在预设搜寻路径中寻找 startup.m ,若此档案存在,则执行其所含的命令。因此我们可将所有在 MATLAB 启动时必须执行的命令(包含更改搜寻路径的命令),放在此档案中。
每次 MATLAB 遇到一个命令(例如 test )时,其处置程序为:
1. 将 test 视为使用者定义的变数。
2. 若 test 不是使用者定义的变数,将其视为永久常数 。
3. 若 test 不是永久常数,检查其是否为目前工作目录下的 M 档案。
4. 若不是,则由搜寻路径寻找是否有 test.m 的档案。
5. 若在搜寻路径中找不到,则 MATLAB 会发出哔哔声并印出错误讯息。
以下介绍与 MATLAB 搜寻路径相关的各项命令。
1-6 、资料的储存与载入
有些计算旷日废时,那麽我们通常希望能将计算所得的储存在档案中,以便将来可进行其他处理。 MATLAB 储存变数的基本命令是 save ,在不加任何选项( Options )时, save 会将变数以二进制( Binary )的方式储存至副档名为 mat 的档案,如下述:
save :将工作空间的所有变数储存到名为 matlab.mat 的二进制档案。
save filename :将工作空间的所有变数储存到名为 filename.mat 的二进制档案。 save filename x y z :将变数 x 、 y 、 z 储存到名为 filename.mat 的二进制档案。
以下为使用 save 命令的一个简例:
who % 列出工作空间的变数
Your variables are:
B h j y
ans i x z
save test B y % 将变数 B 与 y 储存至 test.mat
dir % 列出现在目录中的档案
. 2plotxy.doc fact.m simulink.doc test.m ~$1basic.doc
.. 3plotxyz.doc first.doc temp.doc test.mat
1basic.doc book.dot go.m template.doc testfile.dat
delete test.mat % 删除 test.mat
以二进制的方式储存变数,通常档案会比较小,而且在载入时速度较快,但是就无法用普通的文书软体(例如 pe2 或记事本)看到档案内容。若想看到档案内容,则必须加上 -ascii 选项,详见下述:
save filename x -ascii :将变数 x 以八位数存到名为 filename 的 ASCII 档案。
Save filename x -ascii -double :将变数 x 以十六位数存到名为 filename 的 ASCII 档案。
另一个选项是 -tab ,可将同一列相邻的数目以定位键( Tab )隔开。
小提示:二进制和 ASCII 档案的比较 在 save 命令使用 -ascii 选项後,会有下列现象 :save 命令就不会在档案名称後加上 mat 的副档名。
因此以副档名 mat 结尾的档案通常是 MATLAB 的二进位资料档。
若非有特殊需要,我们应该尽量以二进制方式储存资料。
load 命令可将档案载入以取得储存之变数:
load filename : load 会寻找名称为 filename.mat 的档案,并以二进制格式载入。若找不到 filename.mat ,则寻找名称为 filename 的档案,并以 ASCII 格式载入。 load filename -ascii : load 会寻找名称为 filename 的档案,并以 ASCII 格式载入。
若以 ASCII 格式载入,则变数名称即为档案名称(但不包含副档名)。若以二进制载入,则可保留原有的变数名称,如下例:
clear all; % 清除工作空间中的变数
x = 1:10;
save testfile.dat x -ascii % 将 x 以 ASCII 格式存至名为 testfile.dat 的档案
load testfile.dat % 载入 testfile.dat
who % 列出工作空间中的变数
Your variables are:
testfile x
注意在上述过程中,由於是以 ASCII 格式储存与载入,所以产生了一个与档案名称相同的变数 testfile ,此变数的值和原变数 x 完全相同。
1-7 、结束 MATLAB
有三种方法可以结束 MATLAB :
1. 键入 exit
2. 键入 quit
3. 直接关闭 MATLAB 的命令视窗( Command window )