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解非线性方程

考虑以下形式的非线性方程：

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =0$

其中$\boldsymbol{f}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$是非线性函数。 问题是找到一个点$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^*$使得$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}^* \right) =0$。然后，$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^*$被称为函数$f$的根。 例如，如果$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{e}^{-\boldsymbol{x}}-\cos \boldsymbol{x}+0.5$，则$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{e}^{-\boldsymbol{x}}-\cos \boldsymbol{x}+0.5=0$的根位于曲线$\boldsymbol{e}^{-\boldsymbol{x}}+0.5$与$\cos \left( \boldsymbol{x} \right)$

在本中，将讨论四种求解给定非线性方程的方法，即二分法，牛顿-拉夫森法，割线和迭代法，并在MATLAB和Python中实现。

二等分法

假设函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 在间隔$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right]$

二等分方法是一种迭代方法，该方法在每次迭代中将包含根的间隔分为两个相等的子间隔，将不包含根的一半除去，然后在另一半中寻找根。

如果间隔$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right]$ 分为两个相等的子间隔$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{c} \right]$ 和$\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{b} \right]$ ，其中$\boldsymbol{c}=\left( \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} \right) /2$是间隔$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right]$ 的中点。函数$f$的根在$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{c} \right]$ 或$\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{b} \right]$ 中。 如果它位于$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{c} \right]$ 中，则$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{a} \right) \cdot \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{c} \right) <0$。在这种情况下，我们知道根不在$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{c} \right]$ 区间内，因此我们在$\left[ \boldsymbol{c},\boldsymbol{b} \right]$

实现二分法的MATLAB代码部分如下，

function x = Bisection(f, a, b, Epsilon)
	 while b-a ≥ Epsilon
		 c = (a+b)/2 ;
		 if f(a)*f(c) < 0
			 b = c ;
		 elseif f(b)*f(c) < 0
			 a = c ;
		 else
			 x = c ;
		 end
	end
	x=c ;

现在，我们可以从命令提示符处调用函数二分法，

>> format long
>> Epsilon = 1e-8 ;
>> f = @(x) xˆ2 - 3 ;
>> r = Bisection(f, 1, 2, Epsilon)
r =
1.732050813734531
>> s = Bisection(f, -2, -1, Epsilon)
s =
-1

实现二分法的Python代码部分如下，

In [1]: f = lambda x: x**2 - 3
In [2]: a, b = 1., 2.
In [3]: Eps = 1e-8
In [4]: x, Iters = Bisection(f, a, b, Eps)
In [5]: print(’Approximate root is:’, x, ’\nIterations:’, Iters)
Approximate root is: 1.7320508062839508
Iterations: 25

牛顿-拉普森法

如果函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 在点$\boldsymbol{x}_0$附近是连续的，则可以用以下形式编写：

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_0 \right) +\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_0 \right) \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0 \right) +\mathcal{O}\left( \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0 \right) ^2 \right)$

现在，如果$\boldsymbol{x}_1$是函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 的根，则$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_1 \right) =0$。即：

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_0 \right) +\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_0 \right) \left( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0 \right) \approx \boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_1 \right) =0$

根据以上公式：

$\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{x}_0-\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right)}{\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_0 \right)}$

假设$\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_0 \right) \ne 0$。

牛顿-拉夫森法是一种迭代方法，用于找到最接近函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 到初始猜测值$x_0$的近似值。 从$x_0$开始，它会生成一个数字序列$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots ,$其中，

$\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}+1}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}-\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right)}{\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right)}$

这个数字序列收敛到$f$的最接近$\boldsymbol{x}_0$的根。

要使用牛顿-拉夫森方法为函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{x}^2-3$求根，请注意$\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x} \right) =2\boldsymbol{x}$，因此，迭代方法的形式为：

$\boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n}+1 \right)}=\boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n} \right)}-\frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n} \right)} \right)}{\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n} \right)} \right)}=\boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n} \right)}-\frac{\left( \boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n} \right) ^2}-3 \right)}{2\boldsymbol{x}^{\left( \boldsymbol{n} \right)}}$

MATLAB函数NewtonRaphson.m实现了NewtonRaphson方法：

function [x, Iter] = NewtonRaphson(f, fp, x0, Epsilon)
	 Iter = 0 ;
	 x1 = x0 - f(x0)/fp(x0) ;
	 while abs(f(x1)) ≥ Epsilon
		 x0 = x1 ;
		 x1 = x0 - f(x0)/fp(x0) ;
		 Iter = Iter + 1 ;
	 end
	 x = x1 ;

从命令提示符处调用NewtonRaphson函数：

>> format long
>> f = @(x) xˆ2 - 3 ;
>> fp = @(x) 2*x ;
>> Epsilon = 1e-8 ;
>> x0 = 1 ;
>>[x, Iterations] = NewtonRaphson(f, fp, x0, Epsilon)
x =
1.732050810014728
Iterations =
3
>> [x, Iterations] = NewtonRaphson(f, fp, -x0, Epsilon)
x =
-1.732050810014728
Iterations =
3

Python函数NewtonRaphson的代码为：

一次运行上述代码$\boldsymbol{x}_0=1.0$，另一次运行$\boldsymbol{x}_0=-1.0$：

In [6]: x, Iters = NewtonRaphson(f, fp, x0, Eps)
In [7]: print(’Approximate root is:’, x, ’\nIterations:’, Iters)
Approximate root is: 1.7320508100147276
Iterations: 4
In [8]: x, Iters = NewtonRaphson(f, fp, -x0, Eps)
In [9]: print(’Approximate root is:’, x, ’\nIterations:’, Iters)
Approximate root is: -1.7320508100147276
Iterations: 4

割线法

割线法与牛顿-拉夫森法具有近似的形式，但是它不需要解析形式为$\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}\left( \boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right) \right)$ 的$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 的导数。 它将$\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right)$

$\boldsymbol{f}^{\prime}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right) \approx \frac{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}-1 \right)}{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}-\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}-1}}$

因此，割线方法的形式为：

$\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}+1}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}-\frac{\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}}-\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}-1}}{\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right) -\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}-1} \right)}\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right)$

从某个包含$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 根的间隔$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right]$ 开始，割线方法迭代逼近$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right]$ 中$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$

MATLAB函数Secant实现割线方法。 它接收一个函数$f$，其间隔$\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} \right]$ 的界限包含$f$的根，并且公差$\boldsymbol{\varepsilon }>0$。它应用割线方法返回近似解$x$和迭代次数。

function [x, Iterations] = Secant(f, a, b, Eps)
	 x = b - ((b-a)*f(b))/(f(b)-f(a)) ;
	 Iterations = 1 ;
	 while fabs(f(x)) ≥ Eps
		 a = b ;
		 b = x ;
		 x = b - ((b-a)*f(b))/(f(b)-f(a)) ;
		 Iterations = Iterations + 1 ;
	 end

调用MATLAB函数以找到$\boldsymbol{x}^2-3=0$的近似根，如下所示。

>> f = @(x) xˆ2-3 ;
>> a = 1; b = 2 ;
>> Eps = 1e-8 ;
>> [x, Iterations] = Secant(f, a, b, Eps)
x =
1.732050807565499
Iterations =
5

函数Secant的Python代码如下。

为了找到等式$\boldsymbol{x}^2-3=0$的根，使用了以下Python指令：

固定点的迭代方法

点$\boldsymbol{x}^*$是函数$\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x} \right)$

$\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}^* \right) =\boldsymbol{x}^*$

假设函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x} \right) -\boldsymbol{x}$

如果$x_1$是$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}_1 \right) =\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}_1 \right) -\boldsymbol{x}_1=0\Longrightarrow \boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}_1 \right)$

这意味着$x_1$是函数$\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 的不动点。 朝固定点进行迭代的方法的思想是将函数$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$ 编写为$\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x} \right) -\boldsymbol{x}$的形状，并从一些初始猜测$x_0$开始，该方法生成数字$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots$ 的序列，使用迭代规则收敛到函数$\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x} \right)$

$\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}+1}=\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x}_{\boldsymbol{n}} \right)$

为了说明迭代方法的工作原理，将使用它来找到函数的根

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{x}^2-3$

首先，函数$\boldsymbol{x}^2-3$以$\boldsymbol{g}\left( \boldsymbol{x} \right) -\boldsymbol{x}$的形式编写。 一种可能的选择是编写：

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right) =\boldsymbol{x}^2-3=\boldsymbol{x}^2+2\boldsymbol{x}+1-2\boldsymbol{x}-4=\left( \boldsymbol{x}+1 \right) ^2-2\boldsymbol{x}-4$

如果$\boldsymbol{x}^*$是$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$

$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x}^* \right) =\left( \boldsymbol{x}^*+1 \right) ^2-2\boldsymbol{x}^*-4=0$

从中得出，

$\boldsymbol{x}^*=\frac{\left( \boldsymbol{x}^*+1 \right) ^2-4}{2}$

从初始点$x_0$开始，为$\boldsymbol{f}\left( \boldsymbol{x} \right)$

使用MATLAB和Python solve函数

使用非线性方程组