文章目录
- 10. 树 - 树结构基础概念、二叉树概念、二叉树存储方法
- 10.1 树存储结构基础概念
- 10.1.1 树的结点
- 10.1.2 子树和空树
- 10.1.3 结点的度和层次
- 10.1.4 有序树和无序树
- 10.1.5 森林
- 10.2 二叉树概念
- 10.2.1 二叉树的性质
- 10.2.2 满二叉树
- 10.2.3 完全二叉树
- 10.3 二叉树存储方法
- 10.3.1 二叉树的顺序存储结构
- 10.3.2 二叉树的链式存储结构
10. 树 - 树结构基础概念、二叉树概念、二叉树存储方法
10.1 树存储结构基础概念
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树结构是一种非线性存储结构，存储的是具有“一对多”关系的数据元素的集合。 - 如下示意图所示，该存储结构即为树存储结构，因为整个存储形状在逻辑结构上看，类似于实际生活中倒着的树，所以称这种存储结构为
“树型”存储结构。 - 树状结构也可以用如下示意图表示（此方法很不常用，也不直观，不建议采用）：
- 左图是以嵌套的集合的形式表示的，注意：集合之间绝不能相交，即图中任意两个圈不能相交。
- 右图是凹入表示法，表示方式是：最长条为根结点，相同长度的表示在同一层次。
- 最常用的表示方法是使用广义表的方式，上述示例用广义表表示为：
(A , ( B ( E ( K , L ) , F ) , C ( G ) , D ( H ( M ) , I , J ) ) )
10.1.1 树的结点
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结点：使用树结构存储的每一个数据元素都被称为“结点”。例如上示例中，数据元素 A 就是一个结点； -
父结点（双亲结点）：上层结点为下层结点的父结点，上示例中，A 是 B、C、D 结点的父结点（也称为“双亲结点”）； -
子结点：下层结点为上层结点的子结点，上示例中，B、C、D 都是 A 结点的子结点（也称“孩子结点”）； -
兄弟结点：具有相同的父结点的结点互称兄弟结点，上示例中对 B、C、D 来说，它们都有相同的父结点，所以它们互为兄弟结点； - 如果两个结点的父结点虽不相同，但是它们的父结点处在同一层次上，那么这两个结点互为堂兄弟。上示例中结点 G 和 E、F、H、I、J 的父结点都在第二层，所以之间为堂兄弟的关系。
-
树根结点（根结点）：每一个非空树都有且只有一个被称为根的结点，没有父结点的结点就是整棵树的根结点（即最顶层的结点），上示例中结点 A 就是整棵树的根结点； -
叶子结点：没有任何子结点的结点称为叶子结点（叶结点），上示例中，结点 K、L、F、G、M、I、J 都是这棵树的叶子结点。
10.1.2 子树和空树
-
子树：如上示例，整棵树的根结点为结点 A，而如果单看结点 B、E、F、K、L 组成的部分来说，也是棵树，而且节点 B 为这棵树的根结点。所以称 B、E、F、K、L 这几个结点组成的树为整棵树的子树；同样，结点 E、K、L 构成的也是一棵子树，根结点为 E。 - 单个结点也是一棵树，只不过根结点就是它本身，上示例中：结点 K、L、F 等都是树，且都是整棵树的子树。
- 因此树也可以这样定义：
树是由根结点和若干棵子树构成的。 -
空树：如果集合本身为空，那么构成的树就被称为空树，空树中没有结点。
10.1.3 结点的度和层次
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结点的度：对于一个结点，拥有的子树数量（结点有多少分支）为结点的度，上示例根结点 A 下分出了 3 个子树，所以结点 A 的度为 3。 一棵树的度是树内各结点的度的最大值-
结点的层次：从一棵树的树根开始，树根所在层为第一层，根的孩子结点所在的层为第二层，依次类推。上示例中，A 结点在第一层，B、C、D 为第二层，E、F、G、H、I、J 在第三层，K、L、M 在第四层。 -
一棵树的深度（高度）是树中结点所在的最大的层次，上示例树的深度为 4。
10.1.4 有序树和无序树
- 如果树中结点的子树从左到右看，谁在左边，谁在右边，是规定了的，这棵树称为
有序树；反之称为无序树。 - 在有序树中，一个结点最左边的子树称为
"第一个孩子"，最右边的称为"最后一个孩子"。
10.1.5 森林
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由 m（m >= 0）个互不相交的树组成的集合被称为森林。上示例分别以 B、C、D 为根结点的三棵子树就可以称为森林。 - 树可以理解为是
由根结点和若干子树构成的，而这若干子树本身是一个森林，所以，树还可以理解为是由根结点和森林组成的，用一个式子表示为：Tree =（root,F），其中，root 表示树的根结点，F 表示由 m（m >= 0）棵树组成的森林。
10.2 二叉树概念
- 满足以下两个条件的树称为
二叉树：
- 本身是
有序树； - 树中包含的
各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1 或者 2；
10.2.1 二叉树的性质
- 二叉树具有以下几个性质：
- 二叉树中，第 i 层最多有
- 如果二叉树的深度为 K，那么此二叉树最多有
- 二叉树中，终端结点数（叶子结点数）为
，度为 2 的结点数为
，则
10.2.2 满二叉树
- 如果
二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为 2，则此二叉树称为满二叉树。
- 满二叉树除了满足普通二叉树的性质，还具有以下性质：
- 满二叉树中第 i 层的节点数为
- 深度为 k 的满二叉树必有
个节点 ，叶子数为
；
- 满二叉树中不存在度为 1 的节点，每一个分支点中都两棵深度相同的子树，且叶子节点都在最底层；
- 具有 n 个节点的满二叉树的深度为
。
10.2.3 完全二叉树
- 一棵有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为
完全二叉树。 - 对于任意一个完全二叉树来说，如果将含有的结点按照层次从左到右依次标号，对于任意一个结点 i ，完全二叉树还有以下几个结论成立：
- 当 i > 1 时，父亲结点为结点 [i/2] （i=1 时，表示的是根结点，无父亲结点）；
- 如果 2 * i > n（总结点的个数） ，则结点 i 肯定没有左孩子（为叶子结点）；否则其左孩子是结点 2 * i ；
- 如果 2 * i+1 > n ，则结点 i 肯定没有右孩子；否则右孩子是结点 2 * i + 1 。
10.3 二叉树存储方法
二叉树的存储结构有两种方式，分别为顺序存储和链式存储。
10.3.1 二叉树的顺序存储结构
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二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。 -
顺序存储只适用于完全二叉树，即只有完全二叉树才可以使用顺序表存储，如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树。 普通二叉树转完全二叉树的方法：只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。- 完全二叉树的顺序存储，仅需
从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可，如下存储示意图： -
从顺序表中还原完全二叉树思路：完全二叉树具有这样的性质，将树中节点按照层次并从左到右依次标号（1,2,3,…），若节点 i 有左右孩子，则其左孩子节点为 2 * i，右孩子节点为 2 * i+1，利用该性质可还原数组中存储的完全二叉树。
10.3.2 二叉树的链式存储结构
- 一棵普通的二叉树，若将其采用链式存储，则只需
从树的根节点开始，将各个节点及其左右孩子使用链表存储即可，如下示意图所示： - 采用链式存储二叉树时，其节点结构由 3 部分构成：
- 指向左孩子节点的指针（Lchild）；
- 节点存储的数据（data）；
- 指向右孩子节点的指针（Rchild）；
- c结构体定义：
typedef struct BiTNode{
int data; //数据域
struct BiTNode *lchild; //左孩子指针
struct BiTNode *rchild; //右孩子指针
}BiTNode,*BiTree;感谢阅读，若有不对之处，请见谅！！！
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