复杂网络绘制关联关系 python 复杂网络关系图

一、复杂网络是复杂系统的骨架，复杂系统可以抽象成一个网络，来反映元素之间的相互作用；要想理解一个复杂系统，需要对复杂网络进行分解成单个元素，再研究他们之间的组合是如何相互作用起来的；网络分析的重要性体现在网络结构会影响功能，功能反过来也会影响结构。

理解复杂系统的行为可以从理解系统相互作用网络的拓扑结构开始。网络拓扑结构的信息是研究系统性质和功能的基础。

一个复杂系统由大量异质元素组成，且这些元素通过多种相互作用联系。

二、复杂网络的历史

欧拉 哥尼斯堡七桥➡️图论（网络研究的基础，网络结构是理解复杂世界的关键）➡️随机图论➡️小世界和无标度网络（Small World Network, Scale-free Network）

复杂网络研究所关心的一些问题：
1 如何建立复杂网络模型
2 如何定量刻画复杂网络
拓扑结构的统计性质
-度
-聚集系数：节点的一阶近邻相互连接的情况
-最短路径
-介数：任意一对节点间最短路径所经过的次数
-权
-度度相关性：不同度值的节点相互连接的倾向性
-网络上的聚类分析-社团结构：网络的中观特性，社团内的连边相对紧密，社团间的连边相对稀疏
3 网络是如何发展成现在这种结构的
-时间演化性质
-偏好性的检验
-Small world network
-Scale Free Network-BA模型
网络的拓扑结构
-规则网络：完全连接、最近邻居连接、星形连接、晶格网络、全局耦合网络
-随机网络：网络的度分布是泊松分布
-小世界网络
-无标度网络：度分布是幂律分布、非齐次性（很少节点有很多连接、很多节点只有很少的连接）
4 网络特定结构的后果是什么
-网络的容错与抗攻击能力
-网络上的动力学性质
动力系统：自旋、振子或混沌的同步、可激发系统
传播过程：信息传播与拥堵、网络搜寻、运输过程、疾病转播、谣言传播、舆论形成
博弈与其他社会行为：囚徒困境、少数者博弈
其他过程：电力网的级联失效等

三 复杂网络的表达方式

欧拉定理：如果图具有两个以上奇数度的节点，则没有途径；如果图是连通的且没有奇数度节点，则它至少有一条路径

1 网络的图表达---可视化表达
组成部分：节点/顶点 N
相互作用：连边/边 L
系统：网络/图（N，L）

2 网络的集合表达
点集：V={1,2,3,4,5,6}
边集：E={e1,e2,e3,e4,e5}
网络G=(V,E),由点集V(G)和边集E(G)组成的一个图，可分为无向、有向和加权网络

3 网络的矩阵表达
用临接矩阵表示，对角线元素全部为0
拉普拉斯矩阵：L=K-A,K是度矩阵，是对角矩阵；A是图的临接矩阵

网络拓扑：节点之间相互联系的模式

-度
节点的度是与节点直接相连的连边数
度是离散型随机变量，可以求它的均值、方差、标准差、n阶矩、变量X的分布

-网络的平均度
N(图中节点数) L(图中连边数)
平均度= 2L/N

-网络的度分布
Nk(度为k的节点数目) N(网络中的节点总数目)
将网络节点的度值从小到大排列，统计度值为k的节点占整个网络节点数的比例P(k),即P(k)=Nk/N
即 在网络中随机选择一个节点，其度值为k的概率

在网络的平均度相等时，网络的度分布可能不同

度分布的表述
离散型度值pk:一个节点度值为k的概率
连续型度值pk:节点的度的概率密度函数，p(k)在k1-k2的积分

##正则网络的度分布：
全连接网络：delta函数--度都是n-1
最近邻居连接网络：delta函数---度都相等
星型网络：中心点度值是n-1，边缘点度值是1


-路径
一条从节点i0到in的长度为n的路径P经过n+1个节点和n条边
最短路径：两个节点之间的最短路径是指连接这两个节点的边数最少的路径
两点间路径的条数：如果节点i与j存在一条长度为n的路径，则Aik...Alj=1,反之，Aik...Alj=0
Nlj=[An]ij

-距离
直径：网络中任意两点间的最短距离的最大值
平均路径长度：任意两点之间的最短路径求和后除以边数

-介数
边介数、点介数
任意一对节点间最短路径所经过该点/边的次数
介数反映了相应的节点或边在整个网络中的作用和影响力，是一个全局几何量，对应着枢纽点或中介点

-集聚系数
节点i的ki个邻居节点之间实际存在的边数Ei和总的可能边数之比。
或者通过 包含节点i的三角形数目/以节点i为中心的连通三元组数目 来计算

-网络的传递性 
T=网络中三角形数目/（网络中连通三元组的数目/3）
0<T<1 T=1表示任意两个节点有连接；T=0表示无三角形连接

-网络稀疏性与连通性
完全连接网络：一个网络中任意两个节点之间都有连边存在，平均度为N-1
网络的稀疏程度：网络中实际存在的边数与最大可能的边数之比 L/Lmax=2L/N(N-1),L是网络中实际存在的边数，N是网络中的节点数

-无向网络的连通：
连通图：网络中的任意两个节点之间都至少存在一条路径
最大连通集团：含有节点数最多的连通子图
对于不连通网络的邻接矩阵，所有的非零元素都存在于沿着矩阵对角线排列的一些方块中，其余部分元素均为0

-度相关性
网络中两个节点度值之间的关系：
同配：度大节点倾向于连接 度大节点
异配：度大节点倾向于连接 度小节点
中性：节点间的连接于他们自身的度值无关
衡量度度相关性：
1 可视化描述
2 度相关函数
3 相关系数
4 皮尔逊相关系数

-富人俱乐部
网络的度度相关是异配，但高度节点之间具有很高的连接概率，即富人俱乐部现象
富人俱乐部系数：2(E>k)/(N>k)(N>k-1)
E>k:网络中度值大于k的节点之间的连边数
N>k:网络中度值大于k的节点数

通过计算富人俱乐部系数，发现很多网络中都存在富人俱乐部现象，甚至于随机网中也有富人俱乐部现象，是不合理的，所以要使用标准化的富人俱乐部系数：
pran(k)=y(k)/yran(k)
参考文献： Colizza, V..(2006)Detecting rich-club ordering in complex networks. Nature Physics,2(3),110-115


-有向网络
体现在网络领接矩阵的非对称性
源：网络中入度是0的节点，kin=0
汇：网络中出度是0的节点，kout=0
有向网可以计算：平均入度，平均出度，平均度（L/N）
一个网络总的平均入度等于总的平均出度

有向网的集聚系数：

有向网的度相关：
参考文献 J.G.Foster, D.V.Foster Edge direction and the structure of networks PNAS 107

有向网络模体的个数：
参考文献 Network Motifs:Simple Building Blocks of Complex Networks

-加权网络
1 边权重的赋予：网络中已有的物理量；相互作用的抽象
2 权重的不同定义：
·相似权：概念与距离相反，边权越大，顶点之间越亲近（0为无连接），如合作次数、化学反应速率等
·相异权：概念与距离相同，边权越大，顶点之间距离越远(∞为无连接)，如 航空线的里程