题目名称：走楼梯
时间限制：1000ms内存限制：256M
题目描述
现在有一截楼梯，根据你的腿长，你一次能走 1 级或 2 级楼梯，已知你要走 n 级楼梯才能走到你的目的楼层，请实现一个方法，计算你走到目的楼层的方案数。（测试用例仅做参考，我们会根据代码质量进行评分）
输入描述：
输入整数n。(1<=n<=50)
输出描述：
输出方案数。
示例
示例1
输入5
输出8
提示
思路说明：
你一次能走 1 级或 2 级楼梯，已知你要走 n 级楼梯才能走到你的目的楼层，则设F(n)为走到n阶的种数，则F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
当n=1时，F(1)=1，n=2时，F(2)=2, F(3)=4,…符合斐波那契数列的特征。
斐波那契数列（百度百科）
“斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
基础实现代码：
def f (n):
if n <= 2:
return n
return f (n - 1) + f (n - 2)
if __name__ == "__main__":
n = int(input().strip())
ways = f(n)
print(int(ways))问题：
但该方法不能通过系统测试，未能在规定时间内运行结束。。
算法需优化。
改进：动态计算
在函数体内实现了迭代，每个循环只计算第n – 1和n-2，不是整个函数去迭代，且只计算n-1次，不重复计算。
代码：
def fibonacci(n):
a, b = 1, 2
#每次只计算第n – 1和n-2，不是整个函数去迭代，且只计算n-1次，不重复计算。
for _ in range(n - 1):
a, b = b, a + b
return a
if __name__ == "__main__":
n = int(input().strip())
ways = fibonacci(n)
print(int(ways))思路2：排列组合方法
走了n-1个1和一个2时，它的方法总数其实应该是：
sum = 1 + Cnk(n-1, 1) + Cnk(n-2, 2) + … Cnk(n/2 , n/2) 偶数情况。
sum = 1 + Cnk(n-1, 1) + Cnk(n-2, 2) + … Cnk(n//2 + 1 , n//2 - 1) 奇数情况。
注: n//2 为： 用n整除2， 然后取得的数向下取整。 （2.1取2， 2.9取2）
实现代码：
def computer(n):
all_ways = 1
if n % 2 == 0:
stop_num = int(n / 2)
for i in range(1, stop_num + 1):
all_ways += Cnk(n - i, i)
if n % 2 == 1:
stop_num = (n // 2) + 1
for i in range(1, stop_num + 1):
all_ways += Cnk(n - i, i)
return all_ways
def Cnk(n, k):
value1 = 1
for i in range(k):
value1 = value1 * (n - i)
value2 = 1
for i in range(1, k + 1):
value2 = value2 * i
ans = value1 / value2
return ans
if __name__ == "__main__":
n = int(input().strip())
ways = computer(n)
print(int(ways))扩展：步数：{集合X}
从集合X中取步数的要求下爬楼梯。例如X = {1,3,5}，那么我们的算法应该是f(n) = f(n – 1) + f(n – 3) + f(n – 5)。如果n <0，那么我们应该返回0，因为我们不能爬负数。
def staircase(n, X):
if n < 0:
return 0
elif n == 0:
return 1
elif n in X:
return 1 + sum(staircase(n - x, X) for x in X if x < n)
else:
return sum(staircase(n - x, X) for x in X if x < n)这也很慢（O(|X|^N)），因为也重复计算了。
我们可以使用动态编程来加快速度。
每次的输入cache[i]将包含我们可以用集合X到达台阶i的方法的数量。然后，我们将使用与之前相同的递归从零开始构建数组：
def staircase(n, X):
cache = [0 for _ in range(n + 1)]
cache[0] = 1
for i in range(n + 1):
cache[i] += sum(cache[i - x] for x in X if i - x > 0)
cache[i] += 1 if i in X else 0
return cache[-1]现在时间复杂度为O(N * |X|)，空间复杂度为O(N)。
