Day4 Hailstone
- 希尔顿序列（Hailstone Sequence）
- Collatz 猜想
- 强悍的27
希尔顿序列（Hailstone Sequence）
希尔顿序列（Hailstone Sequence）问题（即考拉兹猜想，又称奇偶归一猜想，冰雹猜想）作为一个著名的数学问题，其正确与否至今都未能得到证明。即：对任一正整数 n，若为偶数则除以 2，若为奇数则乘 3 再加 1，最后 n 总会变为 1。其表达式如下所示：
举个例子
问题的特殊之处在于：尽管很容易将这个问题讲清楚，但直到今天仍然不能保证这个问题的算法对所有可能的输入都有效——即至今没有人证明对所有的正整数该过程都终止。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def hailstone(n):
length = 1
while(1<n):
if n%2 == 0:
n = n/2
else:
n = n*3 + 1
length += 1
return length
x = [n for n in range(10000)]
y = [hailstone(h) for h in x]
plt.scatter(x,y)
plt.xticks(np.arange(min(x),max(x)+1,1000))
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('hailstone(n)')
plt.show()我们可以看出来，因为最后的图形貌似冰雹，所以被称为Hailstone Sequence
但是我们一直有一个问题，是否存在一些数，可以使得while循环一直执行下去，也就是说这个函数到底满不满足有穷性？意思是对于任意的n，while循环都会执行有限次而退出吗？
可惜至今学术界都无法证明对于任意的n，一定满足：hailstone（n）< ∞
算法的主要特点有时并不容易证明。例如，人们通常认为算法的有穷性是最容易判断的，其实不然。由于 无法证明上述程序的 “有穷性”，故 不能称该程序是一个算法。可见证明算法有穷性的困难。
Collatz 猜想
有一个很有意思的问题，我们这样实验：
def hailstone(n):
length = 1
seq = []
while(1 < n):
if n % 2 == 0:
n = n//2
seq.append(n)
else:
n = n * 3 + 1
seq.append(n)
length += 1
return length,seq
print(hailstone(7))
print(hailstone(17))
print(hailstone(103))打印结果如下，数字7,17,103的 Hailstone 序列长度分别为 17， 13， 88，最惊奇的是：每个这
种序列的最后三个数一定是4,2,1
感兴趣的可一直向右滑动，查看序列的结尾是不是4,2,1这个周期！
并且已经得出：无论使用什么起始值，每个hailstone 序列最终都将停留在4、2、1个周期上。
计算机甚至已经检查了所有起始值（最大到5 × 260）（一个 19 位数字），并发现最终出现4、2、1个周期。
但是很遗憾：依然没有科学家能够证明所有序列都是这种情况。
这个开放问题在数学家 Lothar Collatz 于 1937 年首次提出该问题之后被称为 Collatz猜想。
令人惊讶的是，即使是最好的数学家都无法回答，如此简单的形成序列的公式也会引发一个问题。
强悍的27
冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过34步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！
但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外）
27的归一步数要经过多次剧烈波动的奇偶变换，其路径呈不光滑锯齿
每日一句
Winners do what losers don’t want to do.(胜利者做失败者不愿意做的事！)
