概述
最小编辑距离（Minimum Edit Distance）本身是的一个NLP中的一个概念，最小编辑距离旨在定义两个字符串之间的相似度（word similarity）。定义相似度可以用于拼写纠错，计算生物学上的序列比对，机器翻译，信息提取，语音识别等。
编辑距离
两个字符串之间有多相似？
在搜索引擎中，我们总会有偶尔拼错单词的情况，但我们会发现，即便我们拼错了，搜索引擎也能正确地显示出我们想要的结果，而且还会温馨地给出拼写错误的提示。
如果我们在Google中检索”Gooogle”，我们会看到如下结果。
Showing results for google
Search instead for gooogle
Google知道我们输错了，但是它是怎么知道我们输错的呢？
同样地，在生物学中，我们想知道两段DNA或者RNA的有多相似，也会遇到类似的问题。
Seq1: AGGCTATCACCTGACCTCCAGGCCGATGCCC
Seq2: TAGCTATCACGACCGCGGTCGATTTGCCCGAC
对比结果：
Seq1: -AGGCTATCACCTGACCTCCAGGCCGA–TGCCC—
Seq2: TAG-CTATCAC–GACCGC–GGTCGATTTGCCCGAC
同样类似的场景还有很多，我们可以从中抽取出一个共通的问题，即从一个字符串转变为另一个字符串，需要经过怎样的编辑操作。
编辑距离和最小编辑距离
为了解决该问题，我们引入了编辑距离的概念，所谓的编辑距离，就是从串A转换到串B所需的编辑操作次数。
这里的编辑操作包括：
- 插入
- 删除
- 替换
而最小编辑距离（Minimum Edit Distance）就很容易理解了，就是从串A转换到串B所需的最少编辑操作次数（对应的代价）之和。
现在我们来考虑intention和execution两个单词之间的编辑距离。
从上表可以看出，从intention到execution需要1次删除，3次替换，和1次插入。
如果我们把三种操作的代价都记为1，则其编辑距离为5。
除此之外还有一种计算方法将替换的记为2（即一次删除和一次插入），这种距离也被称为列文斯坦（Levenshtein）距离，此时的总距离为8。
动态规划求解MED
算法思想及伪码描述
求解MED最常用的方法采用了动态规规划的思想，计算过程中通过构建一张编辑距离表的方式，将串X到串Y的每一个编辑状态计算出来，每一步计算状态依赖于之前的计算状态。
# 伪码描述
D(i, 0) = i;
D(0, j) = j;
For each i = 1...M
For each j = 1...N
d1 = D(i - 1, j) + 1
d2 = D(i, j - 1) + 1
d3 = D(i - 1, j - 1) + X(i) === Y (j) ? 0 : 2
D(i, j) = min(d1, d2, d3)其中D(n, m)是距离，X(i)表示串X第i个位置的字符，Y(j)表示串Y第j个位置的字符。
编辑距离表
通过上述思想，我们可以构建一张编辑距离表。
首先初始化的时候其距离为，表的状态为：
N | 9 | |||||||||
O | 8 | |||||||||
I | 7 | |||||||||
T | 6 | |||||||||
N | 5 | |||||||||
E | 4 | |||||||||
T | 3 | |||||||||
N | 2 | |||||||||
I | 1 | |||||||||
# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
# | E | X | E | C | U | T | I | O | N |
怎么理解这个表呢？
我们从倒数第二行开始，其第一列为#，表示一个空字符串，#到#对应的值为0，表示从一个空字符串到一个空字符串的MED为0。
#到E对应的值为1，表示从空字符串到E的MED为1，#到X对应的值为2，表示从空字符串到EX的MED为2，以此类推。
反过来，从第二列由下往上推也是同理。
现在我们完成了编辑距离表的初始化，接下来要完成整个表的填充。
实际上对于第D(n, m)的计算在伪码的描述中已经很明确了，就是求三个数值的最小值，第一个数值是表中当前位置的左边的数值 + 1，第二个数值是当前位置下面的数值 + 1，第三个数值相对复杂一点，如果当前位置对应的两个字符一样，则第三个数值就是左下角的数值，表示不需要做任何编辑，否则的话左下角的数字 + 2，表示是一次替换操作（这里认为一次替换操作的代价是2）。
现在我们来求倒数第三行第三列的数值，从上表可以看出，d1 = 1 + 1，d2 = 1 + 1，d3 = 0 + 2，三个值的最小值为2，所以D(0, 0) = 2。
N | 9 | |||||||||
O | 8 | |||||||||
I | 7 | |||||||||
T | 6 | |||||||||
N | 5 | |||||||||
E | 4 | |||||||||
T | 3 | |||||||||
N | 2 | |||||||||
I | 1 | 2 | ||||||||
# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
# | E | X | E | C | U | T | I | O | N |
同样的道理可以求出，D(1, 2) = min(2 + 1, 2 + 1, 1 + 2)，即3。
一直这样计算我们可以得出：
N | 9 | |||||||||
O | 8 | |||||||||
I | 7 | |||||||||
T | 6 | |||||||||
N | 5 | |||||||||
E | 4 | |||||||||
T | 3 | |||||||||
N | 2 | |||||||||
I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 6 | ||
# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
# | E | X | E | C | U | T | I | O | N |
接下来我们计算D(0, 6)，可以发现X(0)和Y(6)是相同的，都是'I'，所以这里的值应该是min(7 + 1, 7 + 1, 6 + 0)，即6。
一次类推，我们可以将整个编辑距离表计算出来。
N | 9 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 |
O | 8 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 10 | 9 | 8 | 9 |
I | 7 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 9 | 8 | 9 | 10 |
T | 6 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 8 | 9 | 10 | 11 |
N | 5 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 10 |
E | 4 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 9 |
T | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 7 | 8 | 9 | 8 |
N | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 7 | 8 | 7 |
I | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 6 | 7 | 8 |
# | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
# | E | X | E | C | U | T | I | O | N |
最终可以算出表中右上角的数值是8，也就是说从INTENTION到EXECUTION的最小编辑距离为8。
带追溯过程的最小编辑编辑
求得最小编辑距离的值是不够的，我们还可以将整个过程回溯的过程记录下来，即我们是怎么计算出8这个值的。
N | 9↓ | 8↓ | 9←↙↓ | 10←↙↓ | 11←↙↓ | 12←↙↓ | 11↓ | 10↓ | 9↓ | 8↙ |
O | 8↓ | 7↓ | 8←↙↓ | 9←↙↓ | 10←↙↓ | 11←↙↓ | 10↓ | 9↓ | 8↙ | 9← |
I | 7↓ | 6↓ | 7←↙↓ | 8←↙↓ | 9←↙↓ | 10←↙↓ | 9↓ | 8↙ | 9← | 10← |
T | 6↓ | 5↓ | 6←↙↓ | 7←↙↓ | 8←↙↓ | 9←↙↓ | 8↙ | 9← | 10← | 11←↓ |
N | 5↓ | 4↓ | 5←↙↓ | 6←↙↓ | 7←↙↓ | 8←↙↓ | 9←↙↓ | 10←↙↓ | 11←↙↓ | 10↙↓ |
E | 4↓ | 3↙ | 4↙ | 5↙ | 6← | 7← | 8←↓ | 9←↙↓ | 10←↙↓ | 9↓ |
T | 3↓ | 4←↙↓ | 5←↙↓ | 6←↙↓ | 7←↙↓ | 8←↙↓ | 7↙ | 8←↓ | 9←↙↓ | 8↓ |
N | 2↓ | 3←↙↓ | 4←↙↓ | 5←↙↓ | 6←↙↓ | 7←↙↓ | 8←↙↓ | 7↙↓ | 8←↙↓ | 7↙ |
I | 1↓ | 2←↙↓ | 3←↙↓ | 4←↙↓ | 5←↙↓ | 6←↙↓ | 7←↙↓ | 6↙ | 7← | 8← |
# | 0 | 1← | 2← | 3← | 4← | 5← | 6← | 7← | 8← | 9← |
# | E | X | E | C | U | T | I | O | N |
这样我们可以记录一整个编辑过程。
从上图的右上角开始，我们可以划出一条完整的追溯路径。
下表是从右向左填写的。
X | I | N | T | E | - | N | T | I | O | N |
Y | - | E | X | E | C | U | T | I | O | N |
Action | Delete | Substitute | Substitute | Insert | Substitute |
是不是和本文一开始的那张图一模一样呢？
1次删除，3次替换，和1次插入，编辑距离正好是8。
C++实现
class Solution {
public:
int minDistance(string word1, string word2) {
int n = word1.size(),m = word2.size();
vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(m+1));
for(int i = 0;i <= n; ++i) dp[i][0] = i;
for(int j = 0;j <= m; ++j) dp[0][j] = j;
for(int i = 1;i<=n;++i){
for(int j = 1;j<=m;++j){
if(word1[i-1] == word2[j-1])
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
else
dp[i][j] = 1 +min(dp[i-1][j-1],min(dp[i][j-1],dp[i-1][j]));
}
}
return dp[n][m];
}
};总结
最小编辑距离还有一种加权最小编辑距离的形式，用于处理某些改动频率不一的情况，本文不再赘述，感兴趣的同学可以查看参考1。
