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二次样条插值[3篇]
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二次样条插值第一篇
一维无约束优化算法——二次插值法
二次插值法亦是用于一元函数
在确定的初始区间内搜索极小点的一种方法。它属于曲线拟合方法的范畴。
一、 基本原理
在求解一元函数
的极小点时，常常利用一个低次插值多项式
来逼近原目标函数，然后求该多项式的
极小点(低次多项式的极小点比较容易计算)，并以此作为目标函数的近似极小点。如果其近似的程度尚未达到所
要求的精度时，可以反复使用此法，逐次拟合，直到满足给定的精度时为止。
常用的插值多项式的计算公式。
为二次或三次多项式，分别称为二次插值法和三次插值法。这里我们主要介绍二次插值法
假定目标函数在初始搜索区间和
(图1}，且满足
，
中有三点、
和，其函数值分别为、
，即满足函数值为两头大中间小的性质。利用这三点及相应的函数值作一条
、
、
为待定系数。
二次曲线，其函数为一个二次多项式 ，式中
图1
根据插值条件，插值函数与原函数在插值结点、、处函数值相等，得
(2)
为求插值多项式的极小点，可令其一阶导数为零，即
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(3)
解式(3)即求得插值函数的极小点(4)
式(4)中要确定的系数可在方程组(2)中利用相邻两个方程消去而得
:
(5)
(6)
将式(5)、(6)代入式(4)便得插值函数极小值点的计算公式：
(7)
把取作区间内的另一个计算点，比较与两点函数值的大小，在保持两头大中间小的前
提下缩短搜索区间，从而构成新的三点搜索区间，再继续按上述方法进行三点二次插值运算，直到满足规定的精度要求为止，把得到的最后的
作为
的近似极小值点。上述求极值点的方法称为三点二次插值法。
为便于计算，可将式(7)改写为
(8)
式中：
(9)
(10)
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二．程序框图
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例题及其程序代码
1.用二次差值法求f(?)=sin?在4???5上的极小值 2.程序
(1) function y=f(x)
y=sin(x); …………………….%定义f文件 (2)c1=(y3-y1)/(x3-x1);
c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3); ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);
yp=f(ap);……………………%定义f1文件 (3)x1=4;
x2=4.5; x3=5; e=0.001; y1=f(x1); y2=f(x2);
y3=f(x3); ………………%确定初始差值节点 h=0.1;
c1=(y3-y1)/(x3-x1);
c2=((y2-y1)/(x2-x1)-c1)/(x2-x3); ap=0.5*(x1+x3-c1/c2);
yp=f(ap);…% 计算二次插值函数极小点
while (abs((y2-yp)/y2)0) 条件
if(y2>=yp) x1=x2; y1=y2; x2=ap; y2=yp; f1; else
x3=ap; y3=yp; f1; end
elseif (y2>=yp) x3=x2; y3=y2; x2=ap; y2=yp; f1; else
x1=ap; y1=yp;
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f1;…………………..%缩短搜索区间 end end
if (y2
xo=ap; yo=yp; end xo yo
三
二次插值法
四 结果分析
经过MATLAB运算，结果如上，与解析法运算结果相同，说明二次差值的效果很好。值得说明的一点是，e即最优解范围，e取的越小，计算结果越精确，但是循环的次数会变多，因此选择合适的e对用二次差值法求极小点也很有必要的。
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二次样条插值第二篇
§8 三次样条插值
问题的提出:
上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。
三次样条函数:
定义:函数S(x)C[a,b]，且在每个小区间[xj,xj+1]上是三次多项式，其中 a=x0
若在节点xj上给定函数值yj=f(xj)(j=0,1,L,n)，并成立 S(xj)=yj则称S(x)为三次样条插值函数。
从定义知要求出S(x)，在每个小区间[xj,xj+1]上要确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数。
根据S(x)在[a,b]上二阶导数连续，在节点xj(j=1,2,
