二阶平稳可以用原数据回归吗 二阶平稳过程

二阶矩过程和平稳过程

基本概念

• 主要讨论复随机过程与宽平稳过程。
• 二阶矩过程：对于$\forall t\in T$，均值和方差都存在。
• 严平稳过程：概率分布完全一样，不涉及数字特征，可能不是二阶矩过程。
• 宽平稳过程：均值函数是常数，自相关函数是时间差的函数。一定是二阶矩过程。
• 对于正态过程来说，严平稳就是宽平稳。
• 独立增量过程+均值为常数、存在二阶矩$\Rightarrow$正交增量过程

注意两者区别：$E([X(t_2)-X(t_1)][X(t_4)-X(t_3)])=E(X(t_2)-X(t_1))E(X(t_4)-X(t_3))$这是独立增量，$E([X(t_2)-X(t_1)]\overline{[X(t_4)-X(t_3)]})=0$是正交增量。

统计特性

• 二阶矩过程的自相关函数共轭对称，且采样后的自相关矩阵非负定。
• 注意$R_X(\tau)=E(X(t+\tau)\overline{X(t)})$，共轭的位置。

随机分析

前提都是二阶矩过程。

均方连续

自相关函数$R_{XX}(s,t)$在$(t_0,t_0)$处连续$\Longleftrightarrow$$\{X(t)\}$均方连续。

对于宽平稳过程：

$\{X(t)\}$均方连续$\Longleftrightarrow$$\{X(t)\}$在$t=0$处均方连续$\Longleftrightarrow$自相关函数$R_{XX}(\tau)$连续$\Longleftrightarrow$自相关函数$R_{XX}(\tau)$在$\tau=0$处连续。

均方导数

$\frac{\partial^2R_{XX}(s,t)}{\partial t\partial s}$在$(t_0,t_0)$处存在且连续$\Longleftrightarrow$$\{X(t)\}$均方可导。

性质

• 导数过程的自相关函数为原自相关函数的导数，即：$R_{X$
• 导数过程的均值函数为原均值函数的导数，即：$E(X$

高阶导数

$R_{XX}(s,t)$有2n阶导数且在对角线$t=s$上连续，则$X(t)$具有均方意义下的n阶导数。

$R_{X^{(n)}}(t,s)=\frac{\partial^{2n}}{\partial t^n\partial s^n}R_{XX}(t,s)$

$R_{X^{(n)}X^{(m)}}(t,s)=\frac{\partial^{(n+m)}}{\partial t^n\partial s^m}R_{XX}(t,s)$

互相关也一样：

$R_{X^{(n)}Y^{(m)}}(t,s)=\frac{\partial^{(n+m)}}{\partial t^n\partial s^m}R_{XY}(t,s)$

均方可积

均方连续$\Longleftrightarrow$均方可积。

类似均方导数，积分号和均值也可以互换。

注意：

• 平稳过程自相关函数积分的时候是两重积分。
• 均方积分是可拆的，积分限可拆，积分内容也可以拆。

各态历经性

讨论根据试验记录（样本函数）确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。其实就是看长时间观测的数据是否可以代表整个随机过程。

如果$X(t)$是一均方连续平稳随机过程，且其均值和相关函数均具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性，或者说$X(t)$是各态历经的，或是遍历的。

通常对于实平稳随机过程，只要时间差趋于无穷大时自协方差为0，那么它的均值具有各态历经性。通常宽平稳随机过程（除了周期不长的周期信号）都满足这个条件。自相关函数的各态历经性也是一样。

例题

通常是求解导数过程的均值函数和相关函数。

判断是不是均方连续/可积（自相关函数在对角线连续）、均方可导（自相关函数导数在对角线连续）。

判断是否平稳（均值函数常数，自相关函数只与时间差有关）。