P-66
1.研究下列函数的连续性，并画出图形。
第一步：先看定义域，确定好定义范围！(这一步非常重要，有函数先看定义域)
第二步：按照定义域画图，先画二次函数，再画一次函数。
第三步：观察函数是否连续——不断开就是连续
由此可得：此函数在区间内连续(加上定义域)
第一步：先看定义域，分好分段函数的定义区间(绝对值不等式——先平方，再解二次不等式)。
第二部：分别画图
第三步：看函数是否连续
由此可得：函数在x=-1处间断(跳跃间断点)
这一题难度中上，小本熊确实花了不少时间解出来，各位观众老爷可以尽量尝试弄明白哦！
切入点：针对这题，我们首先要观察的是其中的分式，是以 f(x)/g(x) 的形式出现的，故对其进行分析简化。
这里为代数过程简化分段函数(感谢zhw)
看到代数运算的复杂程度，大家早就哭死了吧。不要放弃，代数不行，我们上几何！！
观察化简后的函数，它们关于y=1对称，函数值的距离与1相等，故它们的比值的绝对值是为1，下发函数有负数出现，所以有-1情况。
如图可得：函数在x=+-1时，有两个跳跃间断点。
2.求下列函数的间断点，并判断其类型。如果是可去间断点，则补充定义或改变函数，使其在该点连续。
观察式子我们可以知道，0不在函数定义域内，则x=0为函数间断点，但要另函数要在x=0连续，必须要有函数值f(0)
如何计算f(0)呢？————————用刚学的极限
则x=0是可去间断点
同上题一样，0不为函数定义域，
可以才用等价代换，将1/x=t，
研究y=arctant
此题提一点：那就是反三角函数作为高数新学的重要函数，一定一定一定要记牢定义域，图像！！！！
下面附上图像，大家要多看多画多背哦！
图片源于网络
同样也是针对x=0进行研究，利用换元法。
观察定义域，不能让分母为0，则因式分解得(x-2)(x-1)，故x=2，x=1不取
拓展：关于x=2为第二类间断点，可是第二类间断点又分为无穷间断点和振荡间断点，如何确定是哪一种呢？
当遇到极限为无穷，又要确定其类型，我们就要用到左右极限定理！
由此，关于x向右靠近2时，如图第一象限，3/x-2是趋于正无穷(看箭头)；
而x向左靠近2时，如图第四象限，3/x-2是趋于负无穷(看箭头)；
由此我们可以得出，x=2是无穷间断点
补充；看到分式时，我们要将其裂项变化，有了1/x的函数图像为基础，讨论极限的难度会大大减低。
所以，要多画图，多看图！
同理，x=0不在定义内，要针对x=0进行研究
这里有一个问题：x确实不能为0，但是由于tanx的存在，x也不能等于π/2，那么x=π/2也是间断点吗？是的话，是什么类型呢？
这个问题，给大家回去思考！！！
答案下期揭晓！
观察题目，0已经作为补充定义了，故此间断点不为可去间断点，那么，函数在定义上是如何变化？
这就需要知道x趋向0时，函数如何变化，也就是函数从x=0开始，从哪里开始变化。
提醒一下：同学们，左右极限是高数学习常用，但容易忘记的工具。
3.在下列函数中，当a取什么值时，函数f(x)在其定义域内连续？
由题可得x=3是可去间断点，当x=3时，第一个式子分母为0，不可用。
故要用到x趋向与3的极限值。
这题是高中必修一的内容了，就不展开讲述了。
4.求下列函数的极限：
此题中，当x趋于无穷时，函数没有极限，故不能用极限四则运算。
这里要提一点：看到同底数的对数函数加减，要记得对数函数的运算法则——外加减，内乘除。
关于等价无穷小，这里提一点，等价当中的x，不单单为x，更是代表函数，变化式，附上下图：
图片源于知乎
看到这一题是不是有点小蒙？
所以大家记住啦！
当x趋向无穷时，函数又是分式，上下都有x，可以用同除x的最高次方来研究
有sin2x和根号函数出现，似乎没有头绪。
但是要记得：原式没思路，我们就改变原式——等价无穷小
各位，不要看到陌生函数就放弃，有等价无穷小使用，要培养出对无穷小的敏感度，本题第一问的图片建议收藏！
同上：本题也要将tanx进行整体替换，看成t或x，进行无穷小的等价替换
复合函数，先看中间变量——arccotx
反三角函数的图像要记得，这里小本熊帮您附上！
图片源于网络
先研究arccotx的变化趋势
第一题说过：同底数对数，用什么来切入呢?
一头雾水的观众老爷么，请翻P-65推论零点存在定理
最后一题！！！！！！
同上：先构造函数！！
诉苦时间：
各位观众老爷们，小本熊也只是一个大一新生，第一次做公众号，也许有许多令各位不太满意的地方，还请多多包涵。
这里的每一道题目都记录了我的思考逻辑，所以有的简单题目也会长篇大论，希望大家有针对性的看。
单单这一篇文章 就有56张图片，每一个题目和计算过程都要在work上打出来，再截屏，实在太累了，手抽筋了3次。
中间有我的笔稿内容，如果大家也能看懂的话，那我以后会减少work版本。
如果不行，那小本熊就肝吧。
最后我说一下：小本熊只是喜欢数学，但并不擅长数学，数学的难度确实有，但解题后的兴奋是无与伦比的，希望大家面对数学不要感到压抑，人类的幸福不在存量，而是增量。
每一次的知识增加都会让我们充满快乐，总让我们朝着更好，更棒，更未知的领域进发，我们一同前进
最后卑微要个赞和关注，你们的鼓励是我最大的支持！！
再献上两题
