1、 优先级队列
1.1 概念
前面介绍过队列，队列是一种先进先出 (FIFO) 的数据结构 ，但有些情况下， 操作的数据可能带有优先级，一般出队 列时，可能需要优先级高的元素先出队列 ，该中场景下，使用队列显然不合适，比如：在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话。
在这种情况下，我们的数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象 。这种数据结构就是优先级队列 (Priority Queue) 。
2、 优先级队列的模拟实现
JDK1.8中的 PriorityQueue 底层使用了堆的数据结构 ，而堆实际就是在完全二叉树的基础之上进行了一些元素的调整。
2.1 堆的概念
如果有一个关键码的集合 K = {k0 ， k1 ， k2 ， … ， kn-1} ，把它的所有元素 按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一 个一维数组中 ，并满足： Ki <= K2i+1 且 Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0 ， 1 ， 2… ，则 称为 小堆 ( 或大堆) 。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
2.2 堆的存储方式
从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储 ，
注意：对于非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储 ，因为为了能够还原二叉树， 空间中必须要存储空节 点，就会导致空间利用率比较低 。
将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质 5 对树进行还原。假设 i 为节点在数组中的下标，则有：
- 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
- 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
- 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子
2.3 堆的创建
2.3.1 堆向下调整
对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 } 中的数据，如果将其创建成堆呢？
仔细观察上图后发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可 。
向下过程 ( 以小堆为例 ) ：
1. 让 parent 标记需要调整的节点， child 标记 parent 的左孩子 ( 注意： parent 如果有孩子一定先是有左孩子 )
2. 如果 parent 的左孩子存在，即 :child < size ， 进行以下操作，直到 parent 的左孩子不存在
- parent右孩子是否存在，存在找到左右孩子中最小的孩子，让child进行标
- 将parent与较小的孩子child比较，如果：parent小于较小的孩子child，调整结束。否则：交换parent与较小的孩子child，交换完成之后，parent中大的元素向下移动，可能导致子树不满足对的性质，因此需要继续向下调整，即parent = child；child = parent*2+1; 然后继续2。
public void shiftDown(int[] array, int parent)
{
// child先标记parent的左孩子，因为parent可能右左没有右
int child = 2 * parent + 1;
int size = array.length;
while (child < size)
{
// 如果右孩子存在，找到左右孩子中较小的孩子,用child进行标记
if(child+1 < size && array[child+1] < array[child])
{
child += 1;
}
// 如果双亲比其最小的孩子还小，说明该结构已经满足堆的特性了
if (array[parent] <= array[child])
{
break;
}
else
{
// 将双亲与较小的孩子交换
int t = array[parent];
array[parent] = array[child];
array[child] = t;
// parent中大的元素往下移动，可能会造成子树不满足堆的性质，因此需要继续向下调整
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
}
}
注意：在调整以parent 为根的二叉树时，必须要满足 parent 的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。 时间复杂度分析： 最坏的情况 即图示的情况， 从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为
2.3.2 堆的创建
那对于普通的序列{ 1,5,3,8,7,6 } ，即根节点的左右子树不满足堆的特性，又该如何调整呢？
public static void createHeap ( int [] array ) {
// 找倒数第一个非叶子节点，从该节点位置开始往前一直到根节点，遇到一个节点，应用向下调整
int root = (( array . length - 2 ) >> 1 );
for (; root >= 0 ; root -- ) {
shiftDown ( array , root );
}
}
2.3.3
建堆的时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明( 时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果) ：
因此： 建堆的时间复杂度为 O(N) 。
2.4 堆的插入与删除
2.4.1 堆的插入
堆的插入总共需要两个步骤：
- 1. 先将元素放入到底层空间中(注意：空间不够时需要扩容)
- 2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
public void shiftUp(int child)
{
// 找到child的双亲
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
// 如果双亲比孩子大，parent满足堆的性质，调整结束
if (array[parent] > array[child])
{
break;
}
else
{
// 将双亲与孩子节点进行交换
int t = array[parent];
array[parent] = array[child];
array[child] = t;
// 小的元素向下移动，可能到值子树不满足对的性质，因此需要继续向上调增
child = parent;
parent = (child - 1) / 1;
}
}
}
2.4.2 堆的删除
注意：堆的删除一定删除的是堆顶元素。具体如下：
1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换
2. 将堆中有效数据个数减少一个
3. 对堆顶元素进行向下调整
2.5 用堆模拟实现优先级队列
public class MyPriorityQueue
{
// 演示作用，不再考虑扩容部分的代码
private int[] array = new int[100];
private int size = 0;
public void offer(int e)
{
array[size++] = e;shiftUp(size - 1);
}
public int poll()
{
int oldValue = array[0];
array[0] = array[--size];
shiftDown(0);
return oldValue;
}
public int peek()
{
return array[0];
}
}1. 下列关键字序列为堆的是 :(a)
A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60
D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32
2. 已知小根堆为 8,15,10,21,34,16,12 ，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是 (c)
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
3. 一组记录排序码为 (5 11 7 2 3 17), 则利用堆排序方法建立的初始堆为(c)
A: (11 5 7 2 3 17) B: (11 5 7 2 17 3) C: (17 11 7 2 3 5)
D: (17 11 7 5 3 2) E: (17 7 11 3 5 2) F: (17 7 11 3 2 5)
4. 最小堆 [0,3,2,5,7,4,6,8], 在删除堆顶元素 0 之后，其结果是(c)
A: [3 ， 2 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8] B: [2 ， 3 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8]
C: [2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 6] D: [2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8]3、常用接口介绍
3.1PriorityQueue的特性
Java集合框架中提供了 PriorityQueue 和 PriorityBlockingQueue 两种类型的优先级队列， PriorityQueue 是线 程不安全的， PriorityBlockingQueue 是线程安全的 ，本文主要介绍 PriorityQueue 。
关于PriorityQueue的使用要注意：
1. 使用时必须导入 PriorityQueue 所在的包，即：
import java . util . PriorityQueue ;
2. PriorityQueue 中放置的 元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出
ClassCastException 异常
3. 不能 插入 null 对象，否则会抛出 NullPointerException
4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
5. 插入和删除元素的时间复杂度为O（log2N）
6. PriorityQueue 底层使用了堆数据结构 , ( 注意：此处大家可以不用管什么是堆，后文中有介绍 )
7. PriorityQueue 默认情况下是小堆 --- 即每次获取到的元素都是最小的元素
3.2 PriorityQueue常用接口介绍
1. 优先级队列的构造
此处只是列出了PriorityQueue 中常见的几种构造方式，其他的学生们可以参考帮助文档。
static void TestPriorityQueue()
{
// 创建一个空的优先级队列，底层默认容量是11
PriorityQueue<Integer> q1 = new PriorityQueue<>();
// 创建一个空的优先级队列，底层的容量为initialCapacity
PriorityQueue<Integer> q2 = new PriorityQueue<>(100);
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(4);
list.add(3);
list.add(2);
list.add(1);
// 用ArrayList对象来构造一个优先级队列的对象
// q3中已经包含了三个元素
PriorityQueue<Integer> q3 = new PriorityQueue<>(list);
System.out.println(q3.size());
System.out.println(q3.peek());
}注意：默认情况下，PriorityQueue队列是小堆，如果需要大堆需要用户提供比较器
// 用户自己定义的比较器：直接实现 Comparator 接口，然后重写该接口中的 compare 方法即可
class IntCmp implements Comparator < Integer > {
@Override
public int compare ( Integer o1 , Integer o2 ) {
return o2 - o1 ;
}
}
public class TestPriorityQueue {
public static void main ( String [] args ) {
PriorityQueue < Integer > p = new PriorityQueue <> ( new IntCmp ());
p . offffer ( 4 );
p . offffer ( 3 );
p . offffer ( 2 );
p . offffer ( 1 );
p . offffer ( 5 );
System . out . println ( p . peek ());
}
}此时创建出来的就是一个大堆。
2. 插入/删除/获取优先级最高的元素
static void TestPriorityQueue2()
{
int[] arr = {4,1,9,2,8,0,7,3,6,5};
// 一般在创建优先级队列对象时，如果知道元素个数，建议就直接将底层容量给好
// 否则在插入时需要不多的扩容
// 扩容机制：开辟更大的空间，拷贝元素，这样效率会比较低
PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length);
for (int e: arr)
{
q.offer(e);
}
System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数
System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
// 从优先级队列中删除两个元素之和，再次获取优先级最高的元素
q.poll();
q.poll();
System.out.println(q.size()); // 打印优先级队列中有效元素个数
System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
q.offer(0);
System.out.println(q.peek()); // 获取优先级最高的元素
// 将优先级队列中的有效元素删除掉，检测其是否为空
q.clear();
if(q.isEmpty())
{
System.out.println("优先级队列已经为空!!!");
}
else
{
System.out.println("优先级队列不为空");
}
}
注意：以下是 JDK 1.8 中， PriorityQueue 的扩容方式：
private static final int MAX_ARRAY_SIZE = Integer.MAX_VALUE - 8;
private void grow(int minCapacity)
{
int oldCapacity = queue.length;
// Double size if small; else grow by 50%
int newCapacity = oldCapacity + ((oldCapacity < 64) ? (oldCapacity + 2) : (oldCapacity >>1));
// overflow-conscious code
if (newCapacity - MAX_ARRAY_SIZE > 0)
newCapacity = hugeCapacity(minCapacity);
queue = Arrays.copyOf(queue, newCapacity);
}
private static int hugeCapacity(int minCapacity)
{
if (minCapacity < 0) // overflow
throw new OutOfMemoryError();
return (minCapacity > MAX_ARRAY_SIZE) ? Integer.MAX_VALUE : MAX_ARRAY_SIZE;
}优先级队列的扩容说明：
- 如果容量小于64时，是按照oldCapacity的2倍方式扩容的
- 如果容量大于等于64，是按照oldCapacity的1.5倍方式扩容的
- 如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容
3.3 优先级队列的应用
top-k问题：最大或者最小的前 k 个数据。比如：世界前 500 强公司
class Solution
{
public int[] smallestK(int[] arr, int k)
{
// 参数检测
if(null == arr || k <= 0)
return new int[0];
PriorityQueue<Integer> q = new PriorityQueue<>(arr.length);
// 将数组中的元素依次放到堆中
for(int i = 0; i < arr.length; ++i)
{
q.offer(arr[i]);
}
// 将优先级队列的前k个元素放到数组中
int[] ret = new int[k];
for(int i = 0; i < k; ++i)
{
ret[i] = q.poll();
}
return ret;
}
}4、堆的应用
4.1 PriorityQueue的实现
用堆作为底层结构封装优先级队列
4.2 堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
1. 建堆
升序：建大堆
降序：建小堆
2. 利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
4.3 Top-k问题
TOP-K问题：即求数据集合中前 K 个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大 。
比如：专业前10 名、世界 500 强、富豪榜、游戏中前 100 的活跃玩家等。
对于Top-K 问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了 ( 可能数据都不能一下子全部加载到内存中) 。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
1. 用数据集合中前 K 个元素来建堆
前k 个最大的元素，则建小堆
前k 个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的 N-K 个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K 个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的 K 个元素就是所求的前 K 个最小或者最大的元素。
