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我们在这 n 个点之间连线:如果两个点的距离是 d,那么它们之间就有32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333335333738一条边;否则,他们之间就没有边。我们要证的就是:最多有 n 条边。
如果每个点的度数(与之相邻的边数)都不超过2,那么显然最多有 n 条边,因为:
边数 = (各个点的度数之和)/ 2
下面我们考察某个点的度数大于2的情形。
如图,点 P0 的度数大于2,也就是与 P0 距离为 d 的点超过2个。
我们以 P0 为圆心,d 为半径画一个圆,则与 P0 距离为 d 的点 P1、P2、P3……都在这个圆上。实际上,P1、P2、P3……都在一个圆心角不超过60度的圆弧上,也就是说:不妨设 P1、P2 位于最外侧,其它点都位于 P1、P2 之间,则角 P1P0P2 不超过60度(因为否则 P1P2 之间的距离就大于 d 了)。
下面是关键:
除 P1P2 外,任何一个与 P0 距离为 d 的点(比如说:P3),它的度数只能是1,也就是说:与 P3 距离为 d 的点只有 P0。
用反证法。假设还有一个点 P4,P4 与 P3 的距离也是 d。
以 P4 为圆心画一个半径为 d 的圆,叫圆 C,就是图中红色的圆。圆 C 交圆弧 P1P2 于 P3,所以 P1、P2 中至少有一个点在圆 C 外。不妨设:P1 在圆 C 外,那么 P1 与 P4 的距离就大于 d,矛盾。
综上,对于任意一个度数大于2的点 P0(设 P0 的度数为 k),在所有与 P0 相连的 k 个点中,除了其中 2 个点(图中的 P1、P2)的度数可以是 <=2,其它 k-2 个点的度数全部是1。
所以,这 k+1 个点的度数之和:
<= k + 2*2 + 1*(k-2) = 2k + 2
也就是:平均度数 <= (2k+2) / (k+1) = 2
图中有 n 个点,将它们分组:
(1) 对每个度数大于2的点,将这个点与和它相连的点分成一组。
(2) 剩下点分为一组,它们的度数全不超过2。
显然,这样分组后,每个点都属于且仅属于一个组。
每组的平均度数都 <= 2
所以最后的边数 <= 2n / 2 = n
BTW:由推导,可见极限的有 n 条边的情形是这样的:
P0、P1、P2 组成一个等边三角形,其它点全部位于 P1P2 之间的圆弧上。