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我们在这 n 个点之间连线：如果两个点的距离是 d，那么它们之间就有32313133353236313431303231363533e4b893e5b19e31333335333738一条边；否则，他们之间就没有边。我们要证的就是：最多有 n 条边。
如果每个点的度数(与之相邻的边数)都不超过2，那么显然最多有 n 条边，因为：
边数 = (各个点的度数之和)/ 2
下面我们考察某个点的度数大于2的情形。
如图，点 P0 的度数大于2，也就是与 P0 距离为 d 的点超过2个。
我们以 P0 为圆心，d 为半径画一个圆，则与 P0 距离为 d 的点 P1、P2、P3……都在这个圆上。实际上，P1、P2、P3……都在一个圆心角不超过60度的圆弧上，也就是说：不妨设 P1、P2 位于最外侧，其它点都位于 P1、P2 之间，则角 P1P0P2 不超过60度(因为否则 P1P2 之间的距离就大于 d 了)。
下面是关键：
除 P1P2 外，任何一个与 P0 距离为 d 的点(比如说：P3)，它的度数只能是1，也就是说：与 P3 距离为 d 的点只有 P0。
用反证法。假设还有一个点 P4，P4 与 P3 的距离也是 d。
以 P4 为圆心画一个半径为 d 的圆，叫圆 C，就是图中红色的圆。圆 C 交圆弧 P1P2 于 P3，所以 P1、P2 中至少有一个点在圆 C 外。不妨设：P1 在圆 C 外，那么 P1 与 P4 的距离就大于 d，矛盾。
综上，对于任意一个度数大于2的点 P0(设 P0 的度数为 k)，在所有与 P0 相连的 k 个点中，除了其中 2 个点(图中的 P1、P2)的度数可以是 <=2，其它 k-2 个点的度数全部是1。
所以，这 k+1 个点的度数之和：
<= k + 2*2 + 1*(k-2) = 2k + 2
也就是：平均度数 <= (2k+2) / (k+1) = 2
图中有 n 个点，将它们分组：
(1) 对每个度数大于2的点，将这个点与和它相连的点分成一组。
(2) 剩下点分为一组，它们的度数全不超过2。
显然，这样分组后，每个点都属于且仅属于一个组。
每组的平均度数都 <= 2
所以最后的边数 <= 2n / 2 = n
BTW：由推导，可见极限的有 n 条边的情形是这样的：
P0、P1、P2 组成一个等边三角形，其它点全部位于 P1P2 之间的圆弧上。
