车辆运动学模型的线性化和离散化
目录
1 线性化
1.1 泰勒展开
1.2 线性化
2 离散化
2.1 欧拉法和积分中值定理（仅供查看公式）
2.2 离散化
由于车辆的运动学模型是非线性的，所以在设计控制器之前需要进行模型线性化，而车辆的动力学模型本身就是线性化模型，所以不需要进行线性化。（所谓线性化，就是把不能写成X_dot=AX+Bu形式的非线性方程组，写成这种形式）
由于计算机能够处理的数据都是离散化的，所以紧接着还要进行模型的离散化，主要使用积分中值定理和欧拉法可以进行推导。
1 线性化
1.1 泰勒展开
把y_dot作为f函数，以此为对象进行泰勒级数展开，时刻记住y_dot=f(x,u)=f(x0,u0)+...
如下所示：
1.2 线性化
以车辆运动学模型为例，此处假设质心侧偏角β≈0，对该系统进行建模并将其线性化。
个人理解，所谓线性化，就是把不能写成X_dot=AX+Bu形式的非线性方程组，写成这种形式；
推导过程如下：
注意：
1、公式中的θ等效于知识总结（二）中推导公式的Ψ。
2、非线性模型经过线性化后，得到的都是增量模型（在当前状态的基础上的增大或减小量），或者说成是局部模型。线性化后的模型只有在线性化点Xr附近才有意义，离线性化点越远，线性化的模型的预测误差越大。
3、展开点也就是参考点（Xr,Yr,θr），可以看做参考轨迹。这样上面的方程组可以看做一个以误差为变量的新的状态空间方程。轨迹跟踪的目标也就成了控制误差，误差越小跟踪越好。
2 离散化
2.1 欧拉法和积分中值定理（仅供查看公式）
注意：下图中最后一行的中值定理还缺了bu。
注意：下图中，A是矩阵，所以要用I这个单位矩阵。另外右侧同样缺了bu这一项，此处仅供查看回忆欧拉法的公式。
2.2 离散化
一般Ax+Bu全都采用前向欧拉法（B站老王x中点欧拉，u前向欧拉）。
（1）推导如下：
（2）下面这个直接求差分推导+前向欧拉，同上面是一样的，最后的A和B矩阵相同：
模型的用处就是在当前状态给定某控制输入时，预测（估计） 系统未来的状态。控制领域利用模型设计合适的输入，以期控制系统到达目标状态。
