基于核极限学习机(KELM)分类 -附代码

基于核极限学习机(KELM)分类

文章目录

• 基于核极限学习机(KELM)分类

• 1.极限学习机原理概述
• 2.ELM学习算法
• 3.KELM理论基础
• 4.分类问题
• 5.测试结果
• 6.Matlab代码

摘要：本文利用核极限学习机进行优化，并用于分类

1.极限学习机原理概述

典型的单隐含层前馈神经网络结构如图1 所示，由输入层、隐含层和输出层组成，输 入层与隐含层、隐含层与输出层神经元间全连接。其中，输入层有 n 个神经元，对应 n 个输入变量， 隐含层有 l个神经元；输出层有 m 个神经元 ，对应 m 个输出变量 。 为不失一般性，设输 入层与隐含层间的连接权值 w 为:
$w =\left[\begin{matrix}w_{11}&w_{12}&...&w_{1,n}\\ w_{21}&w_{22}&...&w_{2n}\\ ...\\ w_{l1}&w_{l2}&...&w_{ln} \end{matrix}\right]\tag{1}$
其中，$w_n$表示输入层第$i$个神经元与隐含层第$j$个神经元间的连接权值。

设隐含层与输出层间的连接权值 ， 为$\beta$:
$\beta =\left[\begin{matrix} \beta_{11}&\beta_{12}&...&\beta_{1m}\\ \beta_{21}&\beta_{22}&...&\beta_{2m}\\ ...\\ \beta_{l1}&\beta_{l2}&...&\beta_{lm} \end{matrix}\right] \tag{2}$
其中，自$\beta_{jk}$表示隐含层第 j 个神经元与输出层第 k个神经元间的连接权值。

设隐含层神经元的阈值值 b 为：
$b =\left[\begin{matrix}b_1\\ b_2\\ ...\\ b_l \end{matrix}\right]\tag{3}$
设具有 Q 个样本的训练集输入矩阵 X 和输出矩阵 Y 分别为
$X =\left[\begin{matrix}x_{11}&x_{12}&...&x_{1Q}\\ x_{21}&x_{22}&...&x_{2Q}\\ ...\\ x_{n1}&x_{n2}&...&x_{nQ} \end{matrix}\right]\tag{4}$

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \matrix at position 11: Y =\left[\̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{y_{11},y_{12},…

设隐含层神经元的激活函数为 g(x)，则由图1 可得， 网络的输出 T 为:
$T = [t_1,..,t_Q]_{m*Q},t_j = [t_{1j},...,t_{mj}]^T =\left[\begin{matrix}\sum_{i=1}^t\beta_{i1}g(w_ix_j + b_i)\\ \sum_{i=1}^t\beta_{i2}g(w_ix_j + b_i)\\ ...\\ \sum_{i=1}^t\beta_{im}g(w_ix_j + b_i) \end{matrix}\right]_{m*1},(j=1,2,...,Q)\tag{6}$
式(6)可表示为：
$H\beta = T’ \tag{7}$
其中， T’为矩阵 T 的转置； H 称为神经网络的隐含层输出矩阵 ， 具体形式如下 ：
$H(w_1,...,w_i,b_1,...,b_l,x_1,...,x_Q) =\left[\begin{matrix} g(w_1*x_1 + b_1)&g(w_2*x_1 + b_2)&...&g(w_l*x_1 + b_l)\\ g(w_1*x_2 + b_1)&g(w_2*x_2 + b_2)&...&g(w_l*x_2 + b_l)\\ ...\\ g(w_1*x_Q + b_1)&g(w_2*x_Q + b_2)&...&g(w_l*x_Q + b_l) \end{matrix}\right]_{Q*l}\tag{8}$

2.ELM学习算法

由前文分析可知，ELM在训练之前可以随机产生 w 和 b ， 只需确定隐含层神经元个数及隐含层和神经元的激活函数（无限可微） ， 即可计算出$\beta$

（1）确定隐含层神经元个数，随机设定输入层与隐含层间的连接权值 w 和隐含层神经元的偏置 b ;

（2） 选择一个无限可微的函数作为隐含层神经元的激活函数，进而计算隐含层输出矩 阵 H ;

（3）计算输出层权值：$\beta = H^+T$

值得一提的是，相关研究结果表明，在 ELM 中不仅许多非线性激活函数都可以使用（如 S 型函数、正弦函数和复合函数等)，还可以使用不可微函数，甚至可以使用不连续的函数作为激活函数。

3.KELM理论基础

核极限学习机（Kernel Based Extreme Learning Machine，KELM）是基于极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）并结合核函数所提出的改进算法，KELM 能够在保留 ELM 优点的基础上提高模型的预测性能。

ELM 是一种单隐含层前馈神经网络，其学习目标函数F(x) 可用矩阵表示为:
$F(x)=h(x)\times \beta=H\times\beta=L \tag{9}$
式中：$x$ 为输入向量，$h(x)$、$H$ 为隐层节点输出，$β$ 为输出权重，$L$

将网络训练变为线性系统求解的问题，$\beta$根据 $β=H * ·L$ 确定，其中，$H^*$ 为 $H$ 的广义逆矩阵。为增强神经网络的稳定性，引入正则化系数 $C$ 和单位矩阵 $I$，则输出权值的最小二乘解为
$\beta = H^T(HH^T+\frac{I}{c})^{-1}L\tag{10}$
引入核函数到 ELM 中，核矩阵为：
$\Omega_{ELM}=HH^T=h(x_i)h(x_j)=K(x_i,x_j)\tag{11}$
式中：$x_i$ ，$x_j$ 为试验输入向量，则可将式（9）表达为：
$F(x)=[K(x,x_1);...;K(x,x_n)](\frac{I}{C}+\Omega_{ELM})^{-1}L \tag{12}$
式中：$(x_1 , x_2 , …, x_n )$ 为给定训练样本，$n$ 为样本数量.$K()$为核函数。

4.分类问题

本文对乳腺肿瘤数据进行分类。采用随机法产生训练集和测试集，其中训练集包含 500 个样本，测试集包含 69 个样本 。 测试正则化系数 C 和核函数参数 S 分别为2和4，选取核函数为rbf 高斯核函数。

5.测试结果

训练集结果如下图所示

测试集结果如下图所示：

训练集正确率：100%
测试集正确率：89.8551%
病例总数：569 良性：357 恶性：212
训练集病例总数：500 良性：300 恶性：200
测试集病例总数：69 良性：57 恶性：12
良性乳腺肿瘤确诊：55 误诊：2 确诊率p1=96.4912%
恶性乳腺肿瘤确诊：7 误诊：5 确诊率p2=58.3333%

6.Matlab代码

个人资料