二进制差异数

题目描述

• 对于任意两个正整数A和B，定义它们之间的差异值和相似值:
• 差异值: $A、B$转换成二进制后，对于二进制的每一位，对应位置的$bit$值不相同则为1，否则为0
• 相似值:$A、B$转换成二进制后，对于二进制的每一位，对应位置的$bit$值都为1则为1，否则为0
• 现在有$n$个正整数$A_0$到$A_{n-1}$ ，问有多少$(i,j)(0\leq i< j < n)$$A_i和A_j$的差异值大于相似值
• 假设

• 则$A$的二进制表示$101$
• $B$的二进制表示$011$

• 差异值二进制为$110$
• 相似值二进制为$001$

• $A与B$的差异值十进制等于$6$；相似值十进制等于$1$；满足条件

输入描述

• 一个$n$接下来$n$个正整数
• 数据范围：$1\leq n\leq 10^5\quad 1\leq A[i] \leq 2^{30}$

输出描述

• 满足差异值大于相似值的对数

用例

--输入
4
4 3 5 2

--输出
4

--说明
满足条件的分别是 (0, 1) (0, 3) (1, 2) (2, 3) 共4对

题目解析

• 首先、冷静分析题目中给出的 差异值 和 相似值 的概念
• 差异值：不相同为 1 ，相同为 0，即 异或 运算规则
• 相似值：都为 1 为 1，否则为 0，即 位与 运算规则
• 那么现在给到了 个正整数

• 到

• 也就是说 $n$ 个正整数，可以用一个数组来保存，数据范围 $0-10^5$，很显然不能双重 for 循环来解决

• 问有多少的差异值大于相似值

• 其本质是，在数组中一个元素与其之后位置的元素相对比，判断有多少对元素满足要求。

---

• 暴力的解决思路是这样的：对于每一个元素让其和其后面的元素进行 差异值和相似值 的运算处理

• 时间复杂度 $O(N^2)$$1\leq N \leq 10^5$ 很容易超时

• 思考有没有一些特殊性质可以利用

• 每一个数的取值范围大小是 $1\leq A[i] \leq 2^{30}$

• 思考两种情况

• 如果两个数最高位对应的 bit 位相同

• 异或的结果则肯定小于位与的结果-因为异或的结果将最高位的 1 消去了

• 如果两个数最高位对应的 bit 位不同

• 异或的结果肯定大于位与的结果-因为位与的结果将最高位 1 消去了

• 那么如何利用这一个性质呢？
• 那么可以这样考虑-首先可以统计一下所有数字最高位 1 位于二进制数的那一位

• ex：6 的二进制表示是： 110 ，其最高位的 1 位于二进制数的第 3 位
• 特别的：0 最高位为 0

• 由于元素的数据范围是

• 则可以用一个长度为 31 的数组来统计最高位处于的位置
• ex：的最高位位于第31位 其二进制表示形式是 100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

• 从右往左，最高位 1 位于第 31 位

• 那么统计完了之后，如何利用这一性质呢？

• 那么现在我拥有一个这样的数组 height，该怎么处理呢？
• 前面已经知道了，两个数最高位对应的 bit 位相同，那么其 差异值 < 相似值，不用考虑
• 所以只需考虑两个数最高位 bit 位不同的情况
• so，现在假设 height[0] = 100,height[1] = 50

height[0] = 100 表示 100 个数的最高位 1 的位置在第 0 位
height[1] = 50  表示 50  个数的最高位 1 的位置在第 1 位

那么最高位bit位不相同的配对数一共可以有  50 * 100 = 5000（对）

show code

package com.hw;


import java.util.Scanner;

/**
* desc :   <a href="https://fcqian.blog.csdn.net/article/details/128348806">二进制差异数</a>
* <p>
* create time : 2023/7/26 17:05
*/
public class BinaryDiff {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        int[] A = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            A[i] = in.nextInt();
        }

        //binaryDiff(n, A);
        betterWay(n, A);
    }

    // 暴力求解存在超时的问题.
    private static void binaryDiff(int n, int[] A) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                if((A[i] ^ A[j]) > (A[i] & A[j])) {
                    ans++;
                }
            }
        }

        System.out.println(ans);
    }

    private static void betterWay(int n, int[] A) {
        // 数组元素的取值范围是  [1, 2^30]
        // 所以可以用一个长度为 32 的数组，来存储数组元素对应最高位的位置

        int[] height = new int[32];
        // height[31]：在二进制表示中 元素最高位位于第 31 位，从右往左数

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 对于 2^30 输出 1
            int idx = 32 - Integer.numberOfLeadingZeros(A[i]);
            height[idx]++;
        }

        int ans = 0;

        for (int i = 0; i < height.length; i++) {
            for (int j = i + 1; j < height.length; j++) {
                ans += height[i] * height[j];
            }
        }

        System.out.println(ans);
    }



}

参考

https://fcqian.blog.csdn.net/article/details/128348806