蓝桥杯 历届试题 带分数

历届试题 带分数  

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问题描述

100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714。

还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197。

注意特征：带分数中，数字1~9分别出现且只出现一次（不包含0）。

类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。

输入格式

从标准输入读入一个正整数N (N<1000*1000)

输出格式

程序输出该数字用数码1~9不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。

注意：不要求输出每个表示，只统计有多少表示法！

样例输入1

100

样例输出1

11

样例输入2

105

样例输出2

6

思路：
首先，这个题用暴力枚举一定会超时的，所以我就没试。

为何暴力枚举会超时？

原因在于，暴力枚举会搜索到很庞大的没有用的数据，最后在十几万甚至几百万个组合中，也许仅仅只有十几种
组合符合条件，这就大大的浪费了时间。想要避免这类事件的发生，就要有好的剪枝条件。

如何建造好的剪枝条件？

本题说的是，n=a+b/c；那么首先a一定是小于n的，又因为n为整数，所以a和b/c都是整数，这就要求

b/c一定可以整除，所以b%c=0，b/c还要满足可除条件，即b>=c。剪枝的三个条件已经确定
(1).a<n；

(2).b%c=0；

(3).b>=c

再加上n=a+b/c就是四个条件了。只要在1至9的全排列中选取满足这四个条件的全排列就是所求的结果之一。

那么在1至9的全排列（9个数字）中如何确定a，b，c的取值范围呢？

a前面已经说过，而又知道，b一定大于或等于c，则b的取值范围一定在a选择过后去选择剩下的一半或一半以上的数据。举个例子，1至9的其中一个全排列--156987423，若a选择156，则b只能选择剩下的987423中的一半或
一半以上，如987、9874、98742。如果b小于剩下的一半，那么一定不满足除法（如98/7432）。c
的范围则是a和b选择剩下的所有了。这样我们就可以判定，假设num=9，a选择9位中的前n位，那
么b的结尾选择范围为第n+（num-n）/2至num-1位数字（结尾为一半或一半以上，最多时到num-1
，给c留一个数字）；
那么利用深度优先搜索（用来得到一个9位的全排列）和适当的判断（剪枝，找出符合3个条件并
且满足n=a+b/c的全排列）就可以解决。

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
int aws=0;
int a[10],flag[10];
int sum(int start,int end)
{
     int i,sum=0;  
     for(i=start;i<end;i++) 
     sum=sum*10+a[i+1];  
     return sum; 
}
void Found(int a[],int n,int m)//将DFS中的每一个全排列结果放在Found函数中检验
{
     int i,j,begin=0;
     for(i=1;i<n;i++)
     {
        int m1=sum(0,i);//第一个数从1至9开始选 
        if(m1>=m) return;//不满足第一个数<m的直接淘汰 
        for(j=i+(n-i)/2;j<n-1;j++)
        {
           int m2=sum(i,j);//第二个数 
           int m3=sum(j,n-1);//第三个数 
           if(m2>m3&&m2%m3==0&&m==m1+m2/m3)
           {
              //printf("%d=%d+%d/%d\n",m,m1,m2,m3);
              aws++;
           }
        }
     }
}
void DFS(int start,int n,int m)//对1~9进行全排列 
{
     int i;
     if(start==n)
     Found(a,n,m);
     else
     {
         for(i=1;i<n;i++)
         {
            if(flag[i]) 
            continue;  
            a[start]=i;  
            flag[i]=1;  
            DFS(start+1,n,m);//选择好一位开始选下一位 
            flag[i]=0;
         }
     }
}
int main()
{
    int i,j,m;
    double s1,s2;
    memset(flag,0,sizeof(flag));
    scanf("%d",&m);
    //s1=clock(); 
    DFS(1,10,m);
    //s2=clock(); 
    printf("%d\n",aws);
    //printf("%.0lfms\n",s2-s1);
    //system("pause");
    return 0;
}

检测100所用的时间：

100
100=3+69258/714
100=81+5643/297
100=81+7524/396
100=82+3546/197
100=91+5742/638
100=91+5823/647
100=91+7524/836
100=94+1578/263
100=96+1428/357
100=96+1752/438
100=96+2148/537
11
420ms