上下界网络流总结

首先任何有下界的边都要先记录下界的入度和与出度和，记作$in$和$out$。
然后对于点$i$：
如果$in[i]>out[i]$，则建边$(ss\to i,in[i]-out[i])$
如果$in[i]<out[i]$，则建边$(i\to tt,out[i]-in[i])$
下面再分情况讨论其他的建边。

Case #1:无源汇上下界可行流

跑$ss$到$tt$的最大流。

结论：如果能使$ss$临边全部满流就存在可行流。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。

Case #2:有源汇上下界可行流

建边$(t\to s,+\infty)$，跑$ss$到$tt$的最大流。

结论同上：如果能使$ss$临边全部满流就存在可行流。原图的总流量就是边$(t\to s,+\infty)$的流量。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。

Case #3:有源汇上下界最大流

建边$(t\to s,+\infty)$，跑$ss$到$tt$的最大流。记边$(t\to s,+\infty)$的流量为$f1$

断掉边$(t\to s,+\infty)$，跑$s$到$t$的最大流$f2$。

结论同上：如果能使$ss$临边全部满流就存在可行流。原图的总流量就是$f1+f2$。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。

Case #4:有源汇上下界最小流

先不建边$(t\to s,+\infty)$，跑$ss$到$tt$的最大流。

然后建边$(t\to s,+\infty)$，跑$ss$到$tt$最大流。用$ss$临边是否满流判可行，此时边$(t\to s,+\infty)$的流量就是原图最小流。对应每条边在原图的流量是下界+流过去的流量。