51nod 1584 加权约数和

去年的 tangjz 非常喜欢做数论题，但是一年以后的 tangjz 却不那么会做了。

∑σ(i) ，其中  1≤i≤N ，  σ(i) 表示  i

现在他长大了，题目也变难了，所以麻烦你来帮他解决一道数论题吧。

他需要你求如下表达式的值：

∑Ni=1∑Nj=1max(i,j)⋅σ(i⋅j) 

max(i,j) 表示  i 和  j 里的最大值，  σ(i⋅j) 表示  i⋅j 的约数之和。

N=2 的时候，由  σ(1)=1,σ(2)=1+2=3,σ(4)=1+2+4=7 可知，答案应为  1⋅σ(1⋅1)+2⋅σ(1⋅2)+2⋅σ(2⋅1)+2⋅σ(2⋅2)=27

1000000007

Input

每个测试点含有多组测试数据。 第一行是一个正整数T，表示接下来有T组测试数据。（1≤T≤50000） 接下来的T行，每组测试数据占一行。 每行有一个正整数N，含义如描述所示。（1≤N≤1000000）

Output

共有T行。对于每组测试数据，输出一行信息"Case #x: y"。 其中x表示对应的是第几组测试数据，y表示相应的答案模1000000007的值。

Input示例

5 1 2 3 4 5

Output示例

Case #1: 1 Case #2: 27 Case #3: 162 Case #4: 686 Case #5: 1741 【分析】 经过一番莫比乌斯反演，可以做到O(nlogn)预处理，O(1)查询 线性筛写的太垃圾，需要特殊的卡常技巧 代码只有一次AC过...趁评测机跑得飞快水过了

【代码】

//51nod 1584 加权约数和
#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000000
#define ll long long
#define M(a) memset(a,0,sizeof a)
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const int mxn=1000001;
const int mod=1e9+7;
int n,m,T;
bool vis[mxn];
int s[mxn],ss[mxn],miu[mxn],pri[mxn];
int ans[mxn],g[mxn],c[mxn];
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
inline int ksm(int x,int k)
{
    int b=x;--k;
    while(k)
    {
        if(k&1) x=(ll)x*b%mod;
        b=(ll)b*b%mod,k>>=1;
    }
    return x;
}
inline int get(int x,int p)
{
    int cnt=0,tmp=x;
    while(tmp%p==0) cnt++,tmp/=p;
    int t=ksm(p,2*cnt+1)-1;
    if(!c[p-1]) c[p-1]=ksm(p-1,mod-2);
    t=(ll)t*c[p-1]%mod;
    return (ll)g[tmp]*t%mod;
}
inline void init()
{
    int i,j;
    miu[1]=g[1]=1;
    fo(i,2,N)
    {
        if(!vis[i])
          pri[++pri[0]]=i,miu[i]=-1,g[i]=(1+i+(ll)i*i%mod)%mod;
        for(int j=1;j<=pri[0] && (ll)i*pri[j]<=N;j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                g[i*pri[j]]=get(i*pri[j],pri[j]);
                break;
            }
            miu[i*pri[j]]=-miu[i];
            g[i*pri[j]]=(ll)g[i]*g[pri[j]]%mod;
        }
    }
    for(i=1;i<=N;i++) for(j=i;j<=N;j+=i)
    {
        s[j]=s[j]+i;
        if(s[j]>mod) s[j]-=mod;
    }
    fo(i,1,N)
    {
        ss[i]=(ss[i-1]+s[i])%mod;
        if(ss[i]>mod) ss[i]-=mod;
    }
    for(i=1;i<=N;i++) if(miu[i]) for(j=i;j<=N;j+=i)
    {
        ans[j]=ans[j]+(ll)i*j*miu[i]%mod*s[j/i]%mod*ss[j/i]%mod;
        if(ans[j]<0) ans[j]+=mod;
        else if(ans[j]>mod) ans[j]-=mod;
    }
    fo(i,1,N)
    {
        ans[i]=ans[i]+ans[i-1];
        if(ans[i]>mod) ans[i]-=mod;
    }
    fo(i,1,N) g[i]=(ll)i*g[i]%mod;
    fo(i,1,N)
    {
        g[i]=g[i-1]+g[i];
        if(g[i]>mod) g[i]-=mod;
    }
}
int main()
{
    init();
    int i,j;
    T=read();
    fo(i,1,T)
    {
        n=read();
        printf("Case #%d: %d\n",i,(2*ans[n]%mod-g[n]+mod)%mod);
    }
    return 0;
}