欧拉降幂证明（详解）

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欧拉降幂公式

$\quad$ $\quad$ $A^K≡A^{K\%ϕ(m)+ϕ(m)}( mod m)$$\quad$ $\quad$ $K>ϕ(m)$

证明

$\quad$ $\quad$ $A^K≡A^{K\%ϕ(m)+ϕ(m)}( mod m)$$\quad$ $\quad$ $K>ϕ(m)$ $\quad(1)$

1. 若 $(A,m)=1$，根据欧拉定理 $A^{ϕ(m)}≡1(mod m)$,易证
2. 若 $(A,m)≠1$,证明如下:

设 $K=a∗ϕ(m)+c \quad a≥1,0≤c<ϕ(m)$

那么欧拉降幂公式就是

$\quad$ $\quad$$\quad$$A^K≡A^{a∗ϕ(m)+c}≡A^{ϕ(m)+c}( mod m)\quad(2)$

即

$\quad$$\quad$ $\quad$$A^{a∗ϕ(m)}≡A^{ϕ(m)}(mod m)$

即

$\quad$$\quad$ $\quad$ $A^{2∗ϕ(m)}≡A^{ϕ(m)}(mod m)$

移项

$\quad$$\quad$ $\quad$ $A^{ϕ(m)}(A^{ϕ(m)}−1)≡0(mod m)$

即

$\quad$$\quad$ $\quad$ $m|A^{ϕ(m)}(A^{ϕ(m)}−1)\qquad\qquad\qquad\qquad(3)$

即

$\quad$$\quad$ $\quad$ $(\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)}},A) = 1\qquad\qquad\qquad\qquad(4)$

根据欧拉定理

$Aϕ(m)≡A^{k*ϕ(\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)}})}≡(A^{ϕ(\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)}})})^k≡1(mod(\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)}}))$

其中 $k≥1$

移项即得 $\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)})}|(A^{ϕ(m)}−1)$

同时乘 $(m,A^{ϕ(m)})$

即 $m|(m,A^{ϕ(m)})∗(A^{ϕ(m)}−1)$

即 $m|A^{ϕ(m)}(A^{ϕ(m)}−1)$

进行素因子分解

$\quad$$\quad$$A=p_{1}^{a_{1}} * p_{2}^{a_{2}}∗....∗p_{t_{1}}^{a_{t_{1}}}∗q_{1}^{b_{1}}∗q_{2}^{b_{2}}∗...∗q_{t_{2}}^{b_{t_{2}}}$

$\quad$$\quad$$m=p_{1}^{c_{1}} * p_{2}^{c_{2}}∗....∗p_{t_{1}}^{c_{t_{1}}}∗q_{1}^{d_{1}}∗q_{2}^{d_{2}}∗...∗q_{t_{2}}^{d_{t_{2}}}$

$\quad$$\quad$$(A,m)=p_{1}^{min(a_{1},c_{1})}*p_{2}^{min(a_{2},c_{2)}}*p_{t_{1}}^{min(a_{t_{1}},c_{t_{1}})}$

$(A^{ϕ(m)},m)=p_{1}^{min(a_{1}*ϕ(m),c_{1})}*p_{2}^{min(a_{2}*ϕ(m),c_{2)}}*p_{t_{1}}^{min(a_{t_{1}}*ϕ(m),c_{t_{1}})}$

欧拉函数 $ϕ(m)=p_{1}^{c_{1}-1}*p_{2}^{c_{2}-1}∗....∗p_{t_{1}}^{c_{t_{1}}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)∗....∗(p_{t_{1}}-1)$

$a_{i}∗ϕ(m)≥a_{i}*p_{i}^{c_{i}-1}*(p_{i}-1)≥p_{i}^{c_{i}-1}*(p_{i}-1)≥p_{i}^{c_{i}-1}$

证明

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$p_{i}^{c_{i}-1}≥c_{i}$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$(6)$

若 $c_{i}=1$

令 $f(x)=\frac{ln(x)}{x−1}$ $\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$在 $[3,∞]$单调减

又有

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$ $f(2)=ln2<2≤p_{i}$

$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$\quad$$f(3)=\frac{ln3}{2}<2≤p_{i}$

于是 式子$6$

于是

$(A^{ϕ(m)},m)=p_{1}^{min(a_{1}*ϕ(m),c_{1})}*p_{2}^{min(a_{2}*ϕ(m),c_{2)}}*p_{t_{1}}^{min(a_{t_{1}}*ϕ(m),c_{t_{1}})}$

$=p_{1}^{c_{1}} * p_{2}^{c_{2}}∗....∗p_{t_{1}}^{c_{t_{1}}}$

于是

$\quad$$\quad$ $\quad$$(\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)}},A) =q_{1}^{b_{1}}∗q_{2}^{b_{2}}∗...∗q_{t_{2}}^{b_{t_{2}}}$

$\quad$$\quad$ $\quad$ $(\frac{m}{(m,A^{ϕ(m)}},A) = 1$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ 式 $4$

即

$\quad$$\quad$ $m|A^{ϕ(m)}(A^{ϕ(m)}−1)$ $\quad$$\quad$ $\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ 式 $3$

即

$\quad$$A^K≡A^{a∗ϕ(m)+c}≡A^{ϕ(m)+c}( mod m)\quad$ $\quad$$\quad$ $\quad$ 式 $2$

即

$\quad$ $\quad$ $A^K≡A^{K\%ϕ(m)+ϕ(m)}( mod m)$$\quad$ $\quad$ $K>ϕ(m)$ $\quad$

$Code:$

char b[1000010];
ll a, c;
ll quickpow(ll x, ll y, ll z)
{
    ll ans = 1;
    while (y)
    {
        if (y & 1)
            ans = ans * x % z;
        x = x * x % z;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll n)
{
    ll i, rea = n;
    for (i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        if (n % i == 0)
        {
            rea = rea - rea / i;
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)
        rea = rea - rea / n;
    return rea;
}
int main()
{
    cin >> a >> b >> c;
    ll len = strlen(b);
    ll p = phi(c);
    ll ans = 0;
    for (ll i = 0; i < len; i++)
    {
        ans = (ans * 10 + b[i] - '0') % p;
    }
    ans += p;
    cout << quickpow(a, ans, c) << endl;
    return 0;
}