平衡二叉树(AVL 树)
给你一个数列{1,2,3,4,5,6}，要求创建一颗二叉排序树(BST), 并分析问题所在
左边 BST 存在的问题分析:
- 左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表.
- 插入速度没有影响
- 查询速度明显降低(因为需要依次比较), 不能发挥 BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢
- 解决方案-平衡二叉树(AVL)
一、基本介绍
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（Self-balancingbinarysearchtree）又被称为 AVL 树， 可以保证查询效率较高。
- 具有以下特点：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵 平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL、替罪羊树、Treap、伸展树等。
- 举例说明, 看看下面哪些 AVL 树, 为什么?
单旋转(左旋转)
给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {4,3,6,5,7,8}
//左旋转方法
private void leftRotate(){
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left=left;
//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
newNode.right=right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value=right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
right=right.right;
//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
left=newNode;
}
单旋转(右旋转)
给你一个数列，创建出对应的平衡二叉树.数列 {10,12,8,9,7,6}
//右旋转
private void rightRotate(){
Node newNode = new Node(value);
newNode.right=right;
newNode.left=left.right;
value=left.value;
left=left.left;
right=newNode;
}
双旋转
前面的两个数列，进行单旋转(即一次旋转)就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树,但是在某些情况下，单旋转
不能完成平衡二叉树的转换。比如数列 int[]arr={10,11,7,6,8,9}; 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树. int[]arr={2,1,6,5,7,3};// 运行原来的代码可以看到，并没有转成 AVL 树
2) 解决思路分析
- 当符号右旋转的条件时
- 如果它的左子树的右子树高度大于它的右子树的高度
- 先对当前这个结点的左节点进行左旋转
- 在对当前结点进行右旋转的操作即可
package 树.avl;
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int [] arr={10,11,7,6,8,9};
//创建一个 AVLTree 对象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加结点
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍历
System.out.println("中序遍历");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("在平衡处理~~");
System.out.println("树的高度="+avlTree.getRoot().height());
System.out.println("树的左子树高度="+avlTree.getRoot().leftHeight());
System.out.println("树的右子树高度="+avlTree.getRoot().rightHeight());
System.out.println("当前的根结点="+avlTree.getRoot());
}
}
class AVLTree{
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
//查找要删除的结点
public Node search(int value){
if (root==null){
return null;
}else {
return root.search(value);
}
}
//查找父结点
public Node searchParent(int value){
if (root==null){
return null;
}else{
return root.searchParent(value);
}
}
//1. 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
//2. 删除 node 为根结点的二叉排序树的最小结点
/**
*
* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
* @return 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node){
Node target=node;
//循环的查找左子节点，就会找到最小值
while (target.getLeft()!=null){
target= target.getLeft();
}
//这时 target 就指向了最小结点
//删除最小结点
delNode(target.getValue());
return target.getValue();
}
/**
*
* @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
* @return 返回的 以 node 为根结点的二叉排序树的最大结点的值
*/
public int delleftTreeMax(Node node){
Node target=node;
//循环的查找左子节点，就会找到最小值
while (target.getRight()!=null ){
target= target.getRight();
}
//这时 target 就指向了最小结点
//删除最大结点
delNode(target.getValue());
return target.getValue();
}
//删除结点
public void delNode(int value){
if (root==null){
return;
}else {
//1.需求先去找到要删除的结点 targetNode
Node targetnode = search(value);
//如果没有找到要删除的结点
if (targetnode==null){
return;
}
//如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
if (root.getLeft()==null&&root.getRight()==null){
root=null;
return;
}
//去找到 targetNode 的父结点
Node parent = searchParent(value);
//如果要删除的结点是叶子结点
if (targetnode.getLeft()==null&&targetnode.getRight()==null){
//判断 targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
if (parent.getLeft()!=null&&parent.getLeft().getValue()==value){
//是左子结点
parent.setLeft(null);
}else if (parent.getRight()!=null&&parent.getRight().getValue()==value){
//是右子结点
parent.setRight(null);
}
}else if (targetnode.getLeft()!=null&&targetnode.getRight()!=null){
//删除有两颗子树的节点
/* int minVal=delRightTreeMin(targetnode.getRight());
targetnode.setValue(minVal);*/
//删除有两颗子树的节点
int maxVal=delleftTreeMax(targetnode.getLeft());
targetnode.setValue(maxVal);
}else {
// 删除只有一颗子树的结点
//如果要删除的结点有左子结点
if (targetnode.getLeft()!=null){
if (parent!=null){
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parent.getLeft().getValue()==value){
parent.setLeft(targetnode.getLeft());
}else {
// targetNode 是 parent 的右子结点
parent.setRight(targetnode.getLeft());
}
}else {
root=targetnode.getLeft();
}
}else {
//如果要删除的结点有右子结点
if (parent!=null){
//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
if (parent.getLeft().getValue()==value){
parent.setLeft(targetnode.getRight());
}else {
//如果 targetNode 是 parent 的右子结点
parent.setRight(targetnode.getLeft());
}
}else {
root=targetnode.getRight();
}
}
}
}
}
//添加结点的方法
public void add(Node node){
if (root==null){
//如果 root 为空则直接让 root 指向 node
root=node;
}else {
root.add(node);
}
}
//中序遍历
public void infixOrder(){
if (root!=null){
root.infixOrder();
}else {
System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
}
}
}
class Node{
private int value;
private Node left;
private Node right;
public int getValue() {
return value;
}
public void setValue(int value) {
this.value = value;
}
public Node getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(Node left) {
this.left = left;
}
public Node getRight() {
return right;
}
public void setRight(Node right) {
this.right = right;
}
public Node(int value) {
this.value = value;
}
//返回左子树的高度
public int leftHeight(){
if (left==null){
return 0;
}
return left.height();
}
//返回右子树的高度
public int rightHeight(){
if (right==null){
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回 以该结点为根结点的树的高度
public int height(){
return Math.max(left==null?0:left.height(),right==null?0:right.height())+1;
}
//左旋转方法
private void leftRotate(){
//创建新的结点，以当前根结点的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
newNode.left=left;
//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
newNode.right=right.left;
//把当前结点的值替换成右子结点的值
value=right.value;
//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
right=right.right;
//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
left=newNode;
}
//右旋转
private void rightRotate(){
Node newNode = new Node(value);
newNode.right=right;
newNode.left=left.right;
value=left.value;
left=left.left;
right=newNode;
}
/**
* 查找要删除的结点
* @param value 希望删除的结点的值
* @return 如果找到返回该结点，否则返回 null
*/
public Node search(int value){
//找到就是该结点
if (value==this.value){
return this;
}else if(value<this.value){
//如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
//如果左子结点为空
if (this.left==null){
return null;
}
return this.left.search(value);
}else {
//如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
if (this.right==null){
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
//查找要删除结点的父结点
/**
*
* @param value 要找到的结点的值
* @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回 null
*/
public Node searchParent(int value){
//如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
if ((this.left!=null&&this.left.value==value)||(this.right!=null&&this.right.value==value)){
return this;
}else{
//如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
if (value<this.value&&this.left!=null){
//向左子树递归查找
return this.left.searchParent(value);
}else if (value>=this.value&&this.right!=null){
//向右子树递归查找
return this.right.searchParent(value);
}else{
// 没有找到父结点
return null;
}
}
}
//添加结点的方法
//递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
public void add(Node node){
if (node==null){
return;
}
//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
if (node.value<this.value){
//如果当前结点左子结点为 null
if (this.left==null){
this.left=node;
}else {
//递归的向左子树添加
this.left.add(node);
}
}else{
//添加的结点的值大于 当前结点的值
if (this.right==null){
this.right=node;
}else {
//递归的向右子树添加
this.right.add(node);
}
}
//当添加完一个结点后，如果:(右子树的高度-左子树的高度)>1, 左旋转
if(rightHeight()-leftHeight()>1){
//如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
if (right!=null&&right.leftHeight()>right.rightHeight()){
//先对右子结点进行右旋转
right.rightHeight();
//然后在对当前结点进行左旋转
//左旋转..
leftRotate();
}else {
//直接进行左旋转即可
leftRotate();
}
//必须要!!!
return;
}
//当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度)>1, 右旋转
if (leftHeight()-rightHeight()>1){
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
if (left!=null&&left.rightHeight()>left.leftHeight()){
//先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转
left.leftRotate();
//再对当前结点进行右旋转
rightRotate();
}else {
//直接进行右旋转即可
rightRotate();
}
}
}
//中序遍历
public void infixOrder(){
if (this.left!=null){
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right!=null){
this.right.infixOrder();
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node{" +
"value=" + value +
'}';
}
}
