算法竞赛进阶指南 0x50 总论
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文章目录
- [AcWing895. 最长上升子序列](https://www.acwing.com/problem/content/897/)
- [896. 最长上升子序列 II](https://www.acwing.com/problem/content/898/)
- [AcWing\897. 最长公共子序列](https://www.acwing.com/problem/content/899/)
- [AcWing898. 数字三角形](https://www.acwing.com/problem/content/900/)
AcWing895. 最长上升子序列
方法一
采用从前往后推的方法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1006
typedef long long ll;
ll a[N];
ll f[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a+i);//注意：我存储的是ll，所以输入也应该是lld
f[0] = 0;//注意：初始条件一定要给
a[0] = INT_MIN;//注意：对于这种有对比的情况，是要更改一下原数组的第一个元素
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = i+1; j <= n; j++)
if(a[j] > a[i])
{
f[j] = max(f[j], f[i]+1);
}
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)//注意：这里的最优解并不是从最后一个元素里面找，而是在1~N中找
{
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans;
return 0;
}
方法二
思考这一种状态可以由哪些推过来
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1006
typedef long long ll;
ll a[N];
ll f[N];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a+i);
f[0] = 0;//注意：初始条件一定要给
a[0] = INT_MIN;//注意：对于这种有对比的情况，是要更改一下原数组的第一个元素
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j < i; j ++)
{
if(a[j] < a[i])
{
f[i] = max(f[i], f[j]+1);
}
}
ll ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
ans = max(ans, f[i]);
}
cout << ans;
return 0;
}
当询问最长子序列是哪些的时候
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1006
typedef long long ll;
ll a[N];
ll f[N];
ll path[N];
void Print(int i)
{
if(i==0) return;
Print(path[i]);
cout << a[i] << ' ';
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a+i);
f[0] = 0;//注意：初始条件一定要给
a[0] = INT_MIN;//注意：对于这种有对比的情况，是要更改一下原数组的第一个元素
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j < i; j ++)
{
if(a[j] < a[i])
{
if(f[i] < f[j]+1)
{
path[i] = j;//并不需要把之前的全部存起来，只需要知道从哪里转移过来就行了
f[i] = f[j]+1;
}
}
}
ll ans = 0;
ll pos = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
if(f[i] > ans)
{
ans = f[i];
pos = i;
}
}
Print(pos);
puts("");
cout << ans;
return 0;
}
896. 最长上升子序列 II
思路
这一道题目不能再使用动态规划来进行求解
必须采用更为快速的
O(NlogN)做法：贪心+二分
a[i]表示第i个数据。
dp[i]表示表示长度为i+1的LIS结尾元素的最小值。
利用贪心的思想，对于一个上升子序列，显然当前最后一个元素越小，越有利于添加新的元素，这样LIS长度自然更长。
因此，我们只需要维护dp数组，其表示的就是长度为i+1的LIS结尾元素的最小值，保证每一位都是最小值，
这样子dp数组的长度就是LIS的长度。
dp数组具体维护过程同样举例讲解更为清晰。
同样对于序列 a(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，dp的变化过程如下：
- dp[0] = a[0] = 1，长度为1的LIS结尾元素的最小值自然没得挑，就是第一个数。 （dp = {1}）
- 对于a[1]=7，a[1]>dp[0]，因此直接添加到dp尾，dp[1]=a[1]。（dp = {1, 7}）
- 对于a[2]=3，dp[0]< a[2]< dp[1]，因此a[2]替换dp[1]，令dp[1]=a[2]，因为长度为2的LIS，结尾元素自然是3好过于7，因为越小这样有利于后续添加新元素。 （dp = {1, 3}）
- 对于a[3]=5，a[3]>dp[1]，因此直接添加到dp尾，dp[2]=a[3]。 （dp = {1, 3, 5}）
- 对于a[4]=9，a[4]>dp[2]，因此同样直接添加到dp尾，dp[3]=a[9]。 （dp = {1, 3, 5, 9}）
- 对于a[5]=4，dp[1]< a[5]< dp[2]，因此a[5]替换值为5的dp[2]，因此长度为3的LIS，结尾元素为4会比5好，越小越好嘛。（dp = {1, 3, 4, 9}）
- 对于a[6]=8，dp[2]< a[6]< dp[3]，同理a[6]替换值为9的dp[3]，道理你懂。 （dp = {1, 3, 5, 8}）
这样子dp数组就维护完毕，所求LIS长度就是dp数组长度4。
通过上述求解，可以发现dp数组是单调递增的，因此对于每一个a[i]，先判断是否可以直接插入到dp数组尾部，
即比较其与dp数组的最大值即最后一位；如果不可以，则找出dp中第一个大于等于a[i]的位置，用a[i]替换之。
这个过程可以利用二分查找，因此查找时间复杂度为O(logN)，所以总的时间复杂度为O(N*logN)
这道题目恰恰使用到了贪心的思想。
dp数组里面存放了（当前当前位置之前，所有）长度为 i 的上升子序列的最小的末尾元素（只需要一个代表元，那就是结尾的元素）
依次从左向右进行扫描，对比 a[ i ] 和dp数组里面的值。
- 如果
a[i]的值大于dp数组的最后一个值，那么由于a[i]的加入，就会让最长子序列长度增加。 - 如果
a[i]的值小于等于dp数组的最后一个元素，找一个大于等于a[i]的第一个元素的下标p。
p之前的数字全部比 a 小，a 可以替换p的位置，完全合法，并且让p的位置的数字更小，更可能出现较长的上升子序列。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100020
int a[N], dp[N];
int m = 0;
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a+i);
dp[1] = a[1];
m = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(a[i] > dp[m])
{
dp[++m] = a[i];
continue;
}
int p = lower_bound(dp+1, dp+1+m, a[i])-(dp+1)+1;
dp[p] = a[i];
}
printf("%d", m);
return 0;
}
竟然更加简单:)
AcWing\897. 最长公共子序列
思路
闫氏DP分析法
- 状态：
dp[i][j]代表在A序列里面以i结尾，在B中j结尾的序列。
- 子结构：A中以
i结尾，在B中j结尾的序列中所有的公共子序列。 - 最优子结构：最长的公共子序列
- 状态表示：使用一个整数，表示长度。
- 转移：
对于dp[i][j]一共有以下四种情况：
- 包含
a[i]，包含b[j]；
注意有前提条件：a[i] == b[j] 这时候状态表示是dp[i-1][j-1]+1 - 包含
a[i]，不包含b[j]；
没有办法求得这种情况的等价情况。
但是有一个集合可以满足要求：dp[i][j-1]这一个集合有两种情况
- 包含
a[i]，不包含b[j]
- 不包含
a[i]，不包含b[j]
这是因为我的状态表示仅仅说明是a[1~i]和b[1~j]的最长的公共子序列，包不包含a[i]我并不知道。
- 不包含
a[i]，包含b[j]； 和上面一致！ - 不包含
a[i]，不包含b[j]。 显然是dp[i-1][j-1]
由于有重复情况，所以最终dp方式见代码
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1020
char a[N], b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
int n, m;
scanf("%d%d", &n, &m);
scanf("%s", a+1);
scanf("%s", b+1);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
if(a[i] == b[j])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1]+1, dp[i][j]);
}
}
printf("%d", dp[n][m]);
return 0;
}
AcWing898. 数字三角形
输入样例：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
输出样例：
思路
这一道题目给定的三角不便于存储，要想办法改变一下。我们可以使用样例中的办法进行存储
这样，对应的规则就变成了向下或者向右下方走。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 506
int a[N][N];
int dp[N][N];
#define WAY2
//更换上面这一个定义，可以使用两种方法！
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= i; j++)
dp[i][j] = -0x3f3f3f3f;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= i; j++)
scanf("%d", &a[i][j]);
#ifdef WAY1
dp[1][1] = a[1][1];
for(int i = 1; i < n; i++)
for(int j = 1; j <= i; j++)
{
dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j]+a[i+1][j]);
dp[i+1][j+1] = max(dp[i+1][j+1], dp[i][j]+a[i+1][j+1]);
}
#endif
#ifdef WAY2
dp[1][1] = a[1][1];
for (int i = 2; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= i; j++)
{
if(j > 1)dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + a[i][j]);//注意两个边界条件的判断
if(j< i ) dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j]+a[i][j]);
}
#endif
int ans = -0x3f3f3f3f;
for(int i = 1; i<= n; i++)
{
ans = max(ans, dp[n][i]);
}
printf("%d", ans);
return 0;
}
