1.低通滤波器

低通滤波是将频域图像中的高频部分滤除而通过低频部分。图像的边缘和噪声对应于频域图像中的高频部分，而低通滤波的作用即是减弱这部分的能量，从而达到图像平滑去噪的目的。

 2.理想低通滤波器

最简单的低通滤波器是理想低通滤波器，基本思想是给定一个频率阈值，将高于该阈值的所有部分设置为0，而低于该频率的部分保持不变。

理想是指该滤波器不能用电子元器件来实现，但是可以通过计算机来模拟。

在VTK中定义了理想低通滤波器，下面我们来看下怎么使用该滤波器来对图像进行低通滤波:

#include <vtkAutoInit.h>
VTK_MODULE_INIT(vtkRenderingOpenGL);
 
#include <vtkSmartPointer.h>
#include <vtkJPEGReader.h>
#include <vtkImageFFT.h>
#include <vtkImageIdealLowPass.h>
#include <vtkImageData.h>
#include <vtkImageRFFT.h>
#include <vtkImageCast.h>
#include <vtkImageExtractComponents.h>
#include <vtkImageActor.h>
#include <vtkRenderer.h>
#include <vtkRenderWindow.h>
#include <vtkRenderWindowInteractor.h>
 
int main()
{
  vtkSmartPointer<vtkJPEGReader> reader =
    vtkSmartPointer<vtkJPEGReader>::New();
  reader->SetFileName("lena.jpg");
  reader->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageFFT> fftFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageFFT>::New();
  fftFilter->SetInputConnection(reader->GetOutputPort());
  fftFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageIdealLowPass> lowPassFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageIdealLowPass>::New();
  lowPassFilter->SetInputConnection(fftFilter->GetOutputPort());
  lowPassFilter->SetXCutOff(0.05);
  lowPassFilter->SetYCutOff(0.05);
  lowPassFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageRFFT> rfftFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageRFFT>::New();
  rfftFilter->SetInputConnection(lowPassFilter->GetOutputPort());
  rfftFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents> ifftExtractReal =
    vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents>::New();
  ifftExtractReal->SetInputConnection(rfftFilter->GetOutputPort());
  ifftExtractReal->SetComponents(0);
 
  vtkSmartPointer<vtkImageCast> castFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageCast>::New();
  castFilter->SetInputConnection(ifftExtractReal->GetOutputPort());
  castFilter->SetOutputScalarTypeToUnsignedChar();
  castFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageActor> originalActor =
    vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
  originalActor->SetInputData(reader->GetOutput());
 
  vtkSmartPointer<vtkImageActor> erodedActor =
    vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
  erodedActor->SetInputData(castFilter->GetOutput());
 
  double leftViewport[4] = { 0.0, 0.0, 0.5, 1.0 };
  double rightViewport[4] = { 0.5, 0.0, 1.0, 1.0 };
  vtkSmartPointer<vtkRenderer> leftRenderer =
    vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
  leftRenderer->AddActor(originalActor);
  leftRenderer->ResetCamera();
  leftRenderer->SetViewport(leftViewport);
  leftRenderer->SetBackground(1.0, 0, 0);
 
  vtkSmartPointer<vtkRenderer> rightRenderer =
    vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
  rightRenderer->AddActor(erodedActor);
  rightRenderer->SetViewport(rightViewport);
  rightRenderer->ResetCamera();
  rightRenderer->SetBackground(1.0, 1.0, 1.0);
 
  vtkSmartPointer<vtkRenderWindow> renderWindow =
    vtkSmartPointer<vtkRenderWindow>::New();
  renderWindow->AddRenderer(rightRenderer);
  renderWindow->AddRenderer(leftRenderer);
  renderWindow->SetSize(640, 320);
  renderWindow->SetWindowName("Frequency_IdealLowPassFilter");
 
  vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor> interactor =
    vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor>::New();
  interactor->SetRenderWindow(renderWindow);
  renderWindow->Render();
  interactor->Start();
 
  return 0;
}

首先读入一副图像，通过vtkImageFFT将图像转换到频域空间。vtkImageIdealLowPass对频域图像做理想低通滤波，需要用户设置每个方向的截断频率，相应的设置函数SetXCutOff()和SetYCutOff()。执行完毕后，需要通过vtkImageRFFT将处理后的频域图像转换至空域图像。需要注意的是，转换后的图像每个像素都是一个复数，需要vtkImageExtractComponents将该图像的第一个分量提出出来显示，否则图像不能正确显示。由于傅里叶变换输入输出的数据类型都是double，为了方便显示，还需要将其转换为Unsigned char类型，这里vtkImageCast负责类型转换。
下面是对图像做低通滤波的效果:

VTK_Learning_频域处理_低通滤波（理想+巴特沃兹）_#include

从结果看，在过滤掉图像的高频部分后，图像变得模糊，丢失了许多细节，另外还可以看到图像会存在一定的振铃效应，这也是理想低通滤波的特点。

 3.巴特沃兹低通滤波器

在实际中经常使用的是巴特沃斯滤波器。巴特沃斯滤波器对应的转移函数（可以看做是一个系数矩阵）是：

VTK_Learning_频域处理_低通滤波（理想+巴特沃兹）_低通滤波器_02

其中D(u,v)表示频域点(u,v)到频域图像原点的距离，称为截止频率，当D(u,v) = 时，H(u,v)=0.5，即对应的频域能量将为原来的一半。因为巴特沃斯低通滤波器在高低频间的过渡平滑，因此不会出现明显的振铃效应。VTK中实现巴特沃斯低通滤波器的类是vtkImageButterworthLowPass.

其使用过程如下:
 

#include <vtkAutoInit.h>
VTK_MODULE_INIT(vtkRenderingOpenGL);
 
#include <vtkSmartPointer.h>
#include <vtkJPEGReader.h>
#include <vtkImageFFT.h>
#include <vtkImageButterworthLowPass.h>
#include <vtkImageRFFT.h>
#include <vtkImageExtractComponents.h>
#include <vtkImageCast.h>
#include <vtkImageActor.h>
#include <vtkRenderer.h>
#include <vtkRenderWindow.h>
#include <vtkRenderWindowInteractor.h>
#include <vtkInteractorStyleImage.h>
 
int main()
{
  vtkSmartPointer<vtkJPEGReader> reader =
    vtkSmartPointer<vtkJPEGReader>::New();
  reader->SetFileName("lena.jpg");
  reader->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageFFT> fftFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageFFT>::New();
  fftFilter->SetInputConnection(reader->GetOutputPort());
  fftFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageButterworthLowPass> lowPassFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageButterworthLowPass>::New();
  lowPassFilter->SetInputConnection(fftFilter->GetOutputPort());
  lowPassFilter->SetXCutOff(0.05);
  lowPassFilter->SetYCutOff(0.05);
  lowPassFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageRFFT> rfftFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageRFFT>::New();
  rfftFilter->SetInputConnection(lowPassFilter->GetOutputPort());
  rfftFilter->Update();
 
  vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents> ifftExtractReal =
    vtkSmartPointer<vtkImageExtractComponents>::New();
  ifftExtractReal->SetInputConnection(rfftFilter->GetOutputPort());
  ifftExtractReal->SetComponents(0);
 
  vtkSmartPointer<vtkImageCast> castFilter =
    vtkSmartPointer<vtkImageCast>::New();
  castFilter->SetInputConnection(ifftExtractReal->GetOutputPort());
  castFilter->SetOutputScalarTypeToUnsignedChar();
  castFilter->Update();
  
  vtkSmartPointer<vtkImageActor> originalActor =
    vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
  originalActor->SetInputData(reader->GetOutput());
 
  vtkSmartPointer<vtkImageActor> erodedActor =
    vtkSmartPointer<vtkImageActor>::New();
  erodedActor->SetInputData(castFilter->GetOutput());
  ///
  double leftViewport[4] = { 0.0, 0.0, 0.5, 1.0 };
  double rightViewport[4] = { 0.5, 0.0, 1.0, 1.0 };
  vtkSmartPointer<vtkRenderer> leftRenderer =
    vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
  leftRenderer->AddActor(originalActor);
  leftRenderer->SetViewport(leftViewport);
  leftRenderer->SetBackground(1.0, 0, 0);
  leftRenderer->ResetCamera();
 
  vtkSmartPointer<vtkRenderer> rightRenderer =
    vtkSmartPointer<vtkRenderer>::New();
  rightRenderer->AddActor(erodedActor);
  rightRenderer->SetViewport(rightViewport);
  rightRenderer->SetBackground(1.0, 1.0, 1.0);
  rightRenderer->ResetCamera();
  /
  vtkSmartPointer<vtkRenderWindow> rw =
    vtkSmartPointer<vtkRenderWindow>::New();
  rw->AddRenderer(leftRenderer);
  rw->AddRenderer(rightRenderer);
  rw->SetSize(640, 320);
  rw->SetWindowName("ButterworthLowPassExample");
 
  vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor> rwi =
    vtkSmartPointer<vtkRenderWindowInteractor>::New();
  vtkSmartPointer<vtkInteractorStyleImage> style =
    vtkSmartPointer<vtkInteractorStyleImage>::New();
  rwi->SetInteractorStyle(style);
  rwi->SetRenderWindow(rw);
  rwi->Start();
 
  return 0;
}

vtkImageButterworthLowPass与理想低通滤波器的使用一样。为了便于比较，这里设置X和Y方向的截止频率时，与理想低通滤波器设置一致，下面是相应的执行结果:

VTK_Learning_频域处理_低通滤波（理想+巴特沃兹）_低通滤波器_03

从结果来看，巴特沃斯低通滤波器产生的图像更为平滑，不会出现振铃现象。