判断一棵树是否为二叉搜索树：
（1）问题：
给定一棵二叉树，判定该二叉树是否是二叉搜索树（Binary Search Tree）？
（2）分析：
首先说明一下二叉树和二叉搜索树的区别。二叉树指这样的树结构，它的每个结点的孩子数目最多为2个；二叉搜索树是一种二叉树，但是它有附加的一些约束条件，这些约束条件必须对每个结点都成立：
结点node的左子树所有结点的值都小于node的值。
结点node的右子树所有结点的值都大于node的值。
结点node的左右子树同样都必须是二叉搜索树。
该问题在面试中也许经常问到，考察的是对二叉搜索树定义的理解。初看这个问题，也许会想这样来实现：
（3）解法1:暴力搜索
（3.1）分析：
假定当前结点值为k。对于二叉树中每个结点，判断其左孩子的值是否小于k，其右孩子的值是否大于k。如果所有结点都满足该条件，则该二叉树是一棵二叉搜索树。
很不幸的是，这个算法是错误的。考虑下面的二叉树，它符合上面算法的条件，但是它不是一棵二叉搜索树。
10
/ \
5 15 -------- binary tree (1)
/ \
6 20
那么，根据二叉搜索树的定义，可以想到一种暴力搜索的方法来判定二叉树是否为二叉搜索树。
假定当前结点值为k。则对于二叉树中每个结点，其左子树所有结点的值必须都小于k，其右子树所有结点的值都必须大于k。
暴力搜索算法代码如下，虽然效率不高，但是它确实能够完成工作。该解法最坏情况复杂度为O（n^2)，n为结点数目。（当所有结点都在一边的时候出现最坏情况）
（3.2）代码实现1：
/*判断左子树的结点值是否都小于val*/
bool isSubTreeLessThan(BinaryTree *p, int val)
{
if (!p) return true;
return (p->data < val &&
isSubTreeLessThan(p->left, val) &&
isSubTreeLessThan(p->right, val));
}
/*判断右子树的结点值是否都大于val*/
bool isSubTreeGreaterThan(BinaryTree *p, int val)
{
if (!p) return true;
return (p->data > val &&
isSubTreeGreaterThan(p->left, val) &&
isSubTreeGreaterThan(p->right, val));
}
/*判定二叉树是否是二叉搜索树*/
bool isBSTBruteForce(BinaryTree *p)
{
if (!p) return true;
return isSubTreeLessThan(p->left, p->data) &&
isSubTreeGreaterThan(p->right, p->data) &&
isBSTBruteForce(p->left) &&
isBSTBruteForce(p->right);
}
（3.3）代码实现2：
一个类似的解法是：对于结点node，判断其左子树最大值是否大于node的值，如果是，则该二叉树不是二叉搜索树。如果不是，则接着判断右子树最小值是否小于或等于node的值，
如果是，则不是二叉搜索树。如果不是则接着递归判断左右子树是否是二叉搜索树。
（代码中的maxValue和minValue函数功能分别是返回二叉树中的最大值和最小值，这里假定二叉树为二叉搜索树，实际返回的不一定是最大值和最小值）;
注： 该算法应该是反证法，即假设是二叉搜索树，则需要符合二叉搜索树的特点；排除不符合的可能性则就是二叉搜索树；
int isBST(struct node* node)
{
if (node==NULL) return(true);
//如果左子树最大值>=当前node的值，则返回false
if (node->left!=NULL && maxValue(node->left) >= node->data)
return(false);
// 如果右子树最小值<=当前node的值，返回false
if (node->right!=NULL && minValue(node->right) <= node->data)
return(false);
// 如果左子树或者右子树不是BST，返回false
if (!isBST(node->left) || !isBST(node->right))
return(false);
// 通过所有测试，返回true
return(true);
}
int maxValue(struct node* node)
{
sturct node* pNode = node;
int maxData = pNode->data;
while (pNode) {
if (pNode->right) {
maxData = pNode->right->data;
}
}
return maxData;
}
（4）解法2：更好的解法
（4.1）分析：
以前面提到的binary tree（1）为例，当我们从结点10遍历到右结点15时，我们知道右子树结点值肯定都在10和+INFINITY（无穷大）之间。当我们遍历到结点15的左孩子结点6时，
我们知道结点15的左子树结点值都必须在10到15之间。显然，结点6不符合条件，因此它不是一棵二叉搜索树。
（4.2）该算法代码如下：
int isBST2(struct node* node)
{
return(isBSTUtil(node, INT_MIN, INT_MAX));
}
/*
给定的二叉树是BST则返回true，且它的值 >min 以及 < max.
*/
int isBSTUtil(struct node* node, int min, int max)
{
if (node==NULL) return(true);
// 如果不满足min和max约束，返回false
if (node->data<=min || node->data>=max) return(false);
// 递归判断左右子树是否满足min和max约束条件
return
isBSTUtil(node->left, min, node->data) &&
isBSTUtil(node->right, node->data, max)
);
}
由于该算法只需要访问每个结点1次，因此时间复杂度为O（n），比解法1效率高很多。
（5）中序遍历算法：
（5.1）分析：
因为一棵二叉搜索树的中序遍历后其结点值是从小到大排好序的，所以依此给出下面的解法。
（5.2）代码实现1：
根据中序遍历二叉搜索树，则得到的序列有有序的序列，保存到数组中，则为有序数组；
然后根据得到的数组是否为有序数组，来判断一个二叉树是否为有序的；
int a[100] = {-1};
int count = 0;
// O(nlg(n))
void bst_mid_traverse(struct node* root)
{
bst_mid_traverse(root->left);
if (root) {
a[count++] = root->data;
}
else {
return ;
}
bst_mid_traverse(root->right);
}
// O(n)
int is_sort_array(int*a, int len)
{
int is_desc = (a[0] >= a[len -1]) ? 1: 0;
if (is_desc) {
for (int i = 0 ;i < len - 1 && a[i] > = a[i+1]; i++) {
//
}
}
else {
for (int i = 0 ;i < len -1 && a[i] < = a[i+1]; i++) {
//
}
}
if (i < len - 1) {
return 0;
}
else {
return 1;
}
}
（5.3）代码实现2：
bool isBSTInOrder(BinaryTree *root)
{
int prev = INT_MIN;
return isBSTInOrderHelper(root, prev);
}
/*该函数判断二叉树p是否是一棵二叉搜索树，且其结点值都大于prev*/
bool isBSTInOrderHelper(BinaryTree *p, int& prev)
{
if (!p) return true;
if (isBSTInOrderHelper(p->left, prev)) { // 如果左子树是二叉搜索树，且结点值都大于prev
if (p->data > prev) { //判断当前结点值是否大于prev，因为此时prev已经设置为已经中序遍历过的结点的最大值。
prev = p->data;
return isBSTInOrderHelper(p->right, prev); //若结点值大于prev，则设置prev为当前结点值，并判断右子树是否二叉搜索树且结点值都大于prev。
} else {
return false;
}
}
else {
return false;
}
}
