形式语言自动机（3）—— 三种有穷自动机

• 形式语言自动机课程笔记
• 学到编译原理的时候用到了相关概念，复习自动机正好把以前的笔记整理一下也贴上来

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文章目录

• ​​〇、我的理解​​
• ​​一、确定型有穷自动机（DFA）​​

• ​​（1）基本定义​​
• ​​（2）扩充定义​​
• ​​（3）DFA接受的语言​​

• ​​二、非确定型有穷自动机（NFA）​​

• ​​（1）基本定义​​
• ​​（2）扩充定义​​
• ​​（3）NFA接受的语言​​

• ​​三、具有ε转移的有穷自动机（ε-NFA）​​

• ​​（1）基本定义​​
• ​​（2）扩充定义​​
• ​​（3）ε-NFA接受的语言：​​

• ​​四、小结​​

〇、我的理解

说一说我对自动机的个人理解，仅供参考

1. 自动机是描述多状态系统的一种方法。比如指针式钟表就是一种多状态系统，它有12x60x60个状态，秒针没走一格，就切换到下一个相邻的状态。 同时，自动机是表示语言的另一种形式，具体见下面的分析
2. 自动机的组成

• 既然是描述的多状态系统，那么自然有很多状态
• 状态之间的存在转移，这种转移：

1. 是有规则的：比如时钟只能就只能在相邻时刻，从过去向将来进行切换。比如从12:00:00切换到12:00:01，不能出现从从12:00:00切换到13:00:00之类的情况
2. 是输入驱动的：系统只有获得输入后发生状态转移，如果没有输入，就不会切换状态。还是以时钟为例，驱动转换发生的是系统获得输入“时间流逝1秒”（事实上某些系统也可能有自发的转移发生，这时要把输入定义为​​空ε​​）
3. 转换的三要素是 “转移前状态”、“输入”、“转移后状态”，有这三点就能清楚地描述一个转移
4. 多状态系统一定有且只有一个初态，至少有一个终态。规定自动机未获得任何输入时的状态是初态（状态转换从初态开始）；终态是人为指定的，即使达到某个终态了，也可以继续接受输入并转换到自己、其他终态或非终态
5. 对于某些状态，无论输入什么，都不能驱动其最终转换到终态(经过任意多次状态转换都不行），这种状态称它为死状态。

3. 对多状态系统进行抽象：

1. 有若干状态
2. 存在若干输入
3. 状态间存在由输入驱动的转移
4. 有一个特殊的初始态
5. 有若干特殊的终结态

4. 和语言的联系：除了之前介绍的文法外，自动机是表示语言的另一种形式。

1. 语言说白了就是一些字符串的集合，只要设计一个"系统"，可以把某些字符串从世界上无穷多的字符串中提取出来，就可以说这个"系统"能表示语言。
2. 我们把字符串拆开为一个个字符，每个字符作为一个输入。自动机从初始态开始，受到每一个字符的输入不停进行状态转移，当字符串全部输入后，如果自动机处于某个终结状态，我们就说自动机接受了这个字符串。所有自动机接受的字符串的集合称为这个自动机描述的语言

5. 自动机的分类：基于状态转移规则形式上的不同进行分类

一、确定型有穷自动机（DFA）

（1）基本定义

• ​​确定有穷自动机DFA​​​ ：是一个五元组：$M = (Q,∑,δ,q_0,F)$，其中

1. $Q$是有穷状态集；
2. $∑$是有穷的输入字母表
3. $δ$是转移函数，它进行全映射$Q×∑→Q$
4. $q_0∈Q$，是初始状态；
5. $F\subseteq Q$，是终结状态集。(终止状态，接受状态)

• DFA的表示方法

1. 状态转换函数
2. 状态转移矩阵
3. 状态转移图
   
   1. 是一张有限方向图，结点代表状态，用圆圈表示。状态之间用箭弧连结。
   2. 箭弧上的标记（字符或正规式）代表在射出结点（即箭符始结点）状态下可能出现的输入字符或字符类。
   3. 初态，用双线箭头指示，表示分析的开始
   4. 终态，用双圈表示，表示分析的结束
   5. 一张状态转换图只包含有限个状态（即有限个结点），其中含有一个初态和若干个终态（至少一个）。
   6. 一个状态转换图可用于识别（或接受）一定的字符串

• 注意：

1. DFA的转移函数是全映射，也就是说：对于n个字母表元素，如果不省略死状态，DFA每个状态一定有n个转移（出箭头）

（2）扩充定义

• ​​扩充转移函数​​$\hat{\delta}$：对于DFA $M =(Q,∑,δ,q_0,F)$，它的扩充转移函数 是从$Q×∑^*→Q$的映射，其具体定义如下：

1. $\hat{\delta}(q,ε)=q$
2. $\hat{\delta}(q,wa)=\hat{\delta}(\hat{\delta}(q,w),a) 其中q∈Q，w∈∑^*，a∈∑$

• 简单说就是把转移函数的第二个变元扩充为字符串，表示从状态q读过串后转移到状态q’，$δ$是$\hat{\delta}$的特例
• 一般DFA的$δ$都指扩充定义

（3）DFA接受的语言

给出DFA $M =(Q,∑,δ,q_0,F)$

• ​​DFA接受的字符串​​​：若$δ(q_0,x)=p，p∈F ，x∈∑^*$（即串x使起始状态转移到终结状态集），则称字符串x被M接受
• ​​DFA接受的语言​​：被M接受的全部字符串构成的集合，称为被有穷自动机M接受的语言，并记为​​L(M)={ x ∣δ(q0,x)∈F，x∈∑*}​​
• 从状态转移图角度看：状态转移图上，任何一条从某一初态结点到某一终态结点的通路，其上所有弧的标记字依序连接成的字符串（忽略那些标记为ε的弧）等于α，则称α可为DFA M所识别（读出或接受），α也可能是空串ε

二、非确定型有穷自动机（NFA）

（1）基本定义

• ​​非确定有穷自动机NFA​​​：一个五元组$M=(Q,∑,δ,q_0 , F)$

1. 其中$Q、∑、q_0、F$与DFA含意相同，
2. $δ是从Q×∑→2^Q（Q的幂集）$上的映射。

注意这里状态转移函数右边是集合了，应写成集合形式{…}

• 说明：

1. NFA的运行过程中某个时刻是会同时处于多个状态中，只要输入串x结束时NFA所处的多个状态中至少有一个是接受状态，就判断NFA接受x
2. 这相比DFA增加了不确定性，加强了其表达能力。可以理解成描述同一个多状态系统时，NFA比DFA形式更简便

• 注意：

1. n个字母表元素，NFA每个状态不一定有n个转移（出箭头），有些没定义，δ为Ø

（2）扩充定义

• ​​扩充转移函数​​$\hat{\delta}$：扩展为：$2^Q×∑^*→2^Q$的映射，具体定义如下

1. $\hat{\delta}({q1,q2..},ε)={q1,q2..},$
2. $\hat{\delta}({q1,q2..},wa)={p |p∈δ(r,a)，r∈ ({q1,q2..}..,w)}$

• 可以看到这里变成了从集合到集合的映射，输入也从一个字符变成了字母表闭包（字符或字符串）
• 这样理解：假设初始状态集是$Q_{org}$，从第一个元素$q_{org1}$开始读串x，读过第一个符号转移到若干状态，构成一个状态集$Q_{11}$，再对状态集$Q_{11}$中的n个状态，分别读取下一个符号，得到的n个状态并起来得到$Q_{12}$。再对其中每一个状态读取下一个符号直到读完得到$Q_{1n}$，则$\hat{\delta}(q1,x)=Q_{1n}$，依次处理状态集$Q_{org}$中所有初始状态，得到$Q_{1n}、Q_{2n}、Q_{3n}...$，全部取并即可
• 一般NFA的$δ$都指扩充定义

（3）NFA接受的语言

给出NFA $M=(Q,∑,δ,q_0 , F)，x是∑上的一个字符串$

• ​​NFA接受的字符串​​​：若$δ(q_0,x)∩F\neq \phi，（x∈∑^*）$，则称字符串x被M接受
• ​​被NFA接受的语言L(M）​​：被NFA M接受的全体字符串称为M接受的语言

三、具有ε转移的有穷自动机（ε-NFA）

（1）基本定义

• ​​具有ε转移的有穷自动机（ε-NFA）​​​：是一个五元组$M=(Q,∑,δ,q_0 , F)$

1. 其中Q,∑,q0,F的含义与一般的DFA或 NFA相同
2. δ是映射$Q×(∑∪\{ε\})→2^Q$。

• 说明：

1. 和普通NFA相比，可能出现自发转移ε，即没有输入也有可能发生转移动作
2. 这相比普通NFA增加了不确定性，加强了其表达能力。

• 注意：

1. n个字母表元素，NFA每个状态不一定有n个转移（出箭头），有些没定义，δ为Ø

（2）扩充定义

1. ​​ε-CLOSURE(q)​​：有ε-NFA，对于状态q，它的ε-CLOSURE(q)是：

1. 形式化定义：

1. q在ε-CLOSURE(q)中；
2. 若p在ε-CLOSURE(q)中，则δ(p,ε)也都在ε-CLOSURE(q)中；
3. 重复2，直到ε-CLOSURE(q)中状态不再增加为止。

2. 进一步地，对于状态集P的ε-CLOSURE( P)，我们规定：ε-CLOSURE( P) = ∪ε-CLOSURE(q)，也就是所有元素的ε-CLOSURE并起来
3. 从转移图上看，就是从状态q出发，沿着标有ε的有向边所能达到的一切状态所构成的集合（包括状态q本身）

2. ​​扩充转移函数​​$\hat{\delta}$：扩展为映射 $2^Q×∑^*→2^Q$，定义如下：

1. $\hat{\delta}$
2. $\hat{\delta}$ (q,wa)=ε-CLOSURE( P), P = $\cup \hat{\delta}$(r,a)，r∈$\hat{\delta}$(q,w)（q∈Q, a∈∑, w∈∑*）

• 这样理解：假设初始状态集是$Q_{org}$，从第一个元素$q_{org1}$开始读串x，先扩展$q_{org1}$（读ε），然后对结果集合中每一个读第一个字符计算转移状态集，然后全部并（得$P_1$）,对所得集合中每个做ε扩展，再合并（至此得到$q_{org1}$读一个字符的结果），对结果集合中每一个读第二个字符计算转移状态集，然后求并/每个扩展/求并。重复“每个元素读入一个/求并/扩展/求并”，直到读完
• 对于ε-NFA，$\hat{\delta}$和`$\delta$必须要区分

（3）ε-NFA接受的语言：

给出ε-NFA $M=(Q,∑,δ,q_0 , F)$，它接受的语言定义为：

• ​​被ε-NFA接受的语言L(M）​​​ ：$L(M)=\{w | (q0,w)∩F\neq \phi\}$

四、小结

• DFA、NFA、ε-NFA表达能力依次提高，因为引入的不确定性越来越高。
• 三者的接受能力没有变化，换句话说这三者是等价的