Codeforces Global Round 17 D. Not Quite Lee（gcd）

​​传送门​​

题意：

给你一个序列a，对于数$a_i$，将其写成任意$a_i$个连续的数，记第$a_i$组数的和为$sum_i$，现要你找出所有的$sum_i$的组合，使每个组合中的sum的和为0。

思路：

经过推理，不难发现：
对于$a_i$为偶数的情况，它的贡献为$a_i/2+a_i*k$，k为任意整数，下同；
对于$a_i$为奇数的情况，它的贡献为$a_i*k$。
同时，我们也可以得出第一个重要结论：当选取的$a_i$全为奇数时，一定合法。
继续推理可得出下一个结论：**当选取的$a_i$至少有一个奇数时，一定合法。*,证明如下：
记我们选取的数的集合为$b_1,b_2,b_3......b_m$，且其中存在x个奇数，要证明选取的数合法，
即证明：$(b_{x+1}+b_{x+2}+......+b_{m})/2$=$b_1*k_1+b_2*k_2+......b_m*k_m$这个式子成立
而等式右边的式子又可以等价于：gcd($b_1,b_2......,b_m$)*k，这一步不多做阐述，
即要证明：$(b_{x+1}+b_{x+2}+......+b_{m})/2$=gcd($b_1,b_2......,b_m$)*k，
记S = $(b_{x+1}+b_{x+2}+......+b_{m})$
即证明：gcd($b_1,b_2......,b_m$) | S/2
易得：gcd($b_1,b_2......,b_m$) | S且由于$b_1到b_m$中存在奇数，因而gcd($b_1,b_2......,b_m$) 一定不能整除2，所以gcd($b_1,b_2......,b_m$) | S/2一定成立，
证毕。
接下来看全为偶数的情况，先说结论：我们将所有的偶数写为$2^k*c$的形式，则选取的序列满足其中k值最小的数为偶数时，就合法。
证明如下：
同样是上面的那个式子：gcd($b_1,b_2......,b_m$) | S/2，现在b序列全为偶数，将其中每个数都写为$2^k*c$的形式，设最小的k为$k_{min}$，把gcd($b_1,b_2......,b_m$)也写为上述形式，则其等于$2^{k_{min}}*x$,且x一定为奇数，不难得出x | S/2，现在只需要证明：$2^{k_{min}}$ | S/2，我们将S/2拆成序列的形式来看就是：{$b_1/2+b_2/2+...+b_m2$}，在这个除以2之后的序列中，原来刚好包含$2^{k_{min}}$的数都变为了包含$2^{k_{min-1}}$的数，而如果这些的个数为奇数，那么再让其除以$2^{k_{min}}$则会出现小数，而如果个数为偶数，那么就可以让每两个$2^{k_{min-1}}$合并为一个$2^{k_{min}}$，即：选取的序列满足其中k值最小的数为偶数时，就合法。
证毕。
最后的答案就用上面的结论即可得出。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 1e9+7;
ll qpow(ll a, ll b)
{
  ll res = 1;
  while(b)
  {
    if(b&1)res = res*a%mod;
    b = b>>1;
    a = a*a%mod;
  }
  return res;
}
int sum[40];
ll a[200010];
ll suf[40]; 
int main()
{
  int n;
  cin>>n;
  ll even = 0,odd = 0;
  for(int i = 1; i <= n; i++)
  {
    cin>>a[i];
    if(a[i]%2)odd++;
    else even++;
    if(a[i]%2==0)
    {
      int k = 0;
      ll now = a[i];
      while(now%2==0)
      {
        now/=2;
        k++;
      }
      sum[k]++;
    }
  }
  for(int i = 31; i >= 1; i--)
  {
    suf[i] = suf[i+1]+sum[i];
  }
  ll ans = qpow(2,n)+mod-qpow(2,even);
  ans%=mod;
  for(int i = 1; i <= 31; i++)
  {
    if(sum[i])
    {
      ans += (qpow(2,sum[i]-1)-1)*qpow(2,suf[i+1]);
      ans%=mod;
    }
  }
  cout<<ans%mod<<endl;
}