谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）

原创

CMMKK 2024-07-27 11:50:03 ©著作权

文章标签 聚类数据挖掘机器学习相似度邻域 文章分类 HarmonyOS 后端开发

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谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）

引言

谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）是一种用于高维数据聚类的先进算法，尤其适用于处理具有复杂流形结构的数据集。

SCC结合了流形学习和谱聚类技术，通过计算数据点在局部邻域内的曲率来揭示数据的内在几何结构，从而更准确地进行聚类。

基本原理

SCC算法的核心在于利用数据点在局部邻域内的几何特性，即曲率，来构建数据点之间的相似度矩阵。

曲率高的点通常位于数据集的边界或拐点处，而曲率低的点则更可能位于数据集的内部。

SCC通过计算曲率来区分这些点，从而更好地理解数据的流形结构。

曲率的计算

曲率的计算基于数据点的局部邻域信息。

对于数据点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度$ ，首先找到其 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_02$ 个最近邻点。然后，使用这些点来估计局部邻域的曲率。一个常用的曲率估计方法是通过拟合一个局部平面或高阶曲面，并计算该曲面的主曲率。

假设我们已经得到了点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度$ 的 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_02$ 个最近邻点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_05$ ，那么可以构造一个局部邻域矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_06$ ，其中每一行都是一个邻域点减去中心点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度$ 的结果。接下来，可以使用奇异值分解（SVD）来估计局部曲率。

令 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_08$ 为 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_06$ 的SVD分解，其中 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_10$ 是奇异值矩阵，包含了 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_06$ 的奇异值 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_机器学习_12$ ，这些奇异值可以用于估计曲率。

曲率 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_聚类_13$ 可以表示为：

$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_14$

其中 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_聚类_15$ 是数据点估计的局部维度。这个公式的含义是，曲率是最大奇异值和 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_聚类_15$ 维空间中的最后一个奇异值之差与最大奇异值的比率。

高曲率表示数据点位于流形的弯曲部分，而低曲率则表示数据点位于流形的平坦部分。

构建相似度矩阵

有了每个数据点的曲率信息，接下来可以构建相似度矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_17$ 。相似度矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_17$ 的元素 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_19$ 表示点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度$ 和点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_21$ 之间的相似度。

在SCC中，相似度通常基于曲率的差异和距离来计算。一个常见的做法是使用高斯核函数：

$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_22$

其中：

$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_23$ 是点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_24$ 和点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_25$ 之间的欧式距离。
$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_26$ 是高斯核函数的标准差，用于控制距离的敏感度。
$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_27$ 是一个正则化参数，用于控制曲率差异的影响程度。
$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_聚类_28$ 和 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_29$ 分别是点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_24$ 和点 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_25$ 的曲率。

谱聚类

有了相似度矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_17$ 之后，可以应用谱聚类技术来对数据点进行聚类。谱聚类的第一步是构建拉普拉斯矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_33$ ，通常使用未标准化的拉普拉斯矩阵：

$谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_聚类_34$

其中 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_35$ 是对角矩阵，其对角元素 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_机器学习_36$ ，称为度矩阵。

接下来，计算 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_相似度_33$ 的特征向量，选取前 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_02$ 个特征向量（ $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_02$ 是预期的聚类数量），并将这些特征向量组成矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_40$ 。然后，对 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_40$ 的每一行进行归一化，形成矩阵 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_42$ 。最后，应用 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_数据挖掘_02$ -means算法对 $谱曲率聚类（Spectral Curvature Clustering, SCC）_邻域_42$ 的行向量进行聚类，从而得到最终的聚类结果。