小批量K-均值（Mini Batch K-Means）

小批量K-均值（Mini Batch K-Means）是一种K-Means聚类算法的变种，它旨在处理大规模数据集时降低计算成本和提高效率。

传统K-Means算法需要在每一轮迭代中遍历整个数据集，这在数据量巨大时是非常耗时的。

Mini Batch K-Means通过每次仅使用数据集的一个小随机子集（即“mini batch”）来更新聚类中心，从而显著减少了计算时间。

Mini Batch K-Means的基本流程：

1. 初始化：随机选择 k 个数据点作为初始聚类中心。
2. 采样：从数据集中随机抽取一个小批量数据子集。
3. 分配：将这批数据点分配给最近的聚类中心。
4. 更新中心：根据这批数据点，更新聚类中心的位置。
5. 重复步骤2至4，直到满足停止条件（例如，达到预定的迭代次数或聚类中心的变化低于某个阈值）。

涉及到的公式：

更新聚类中心

在Mini Batch K-Means中，聚类中心的更新是基于当前批次数据点的。 设

• $m$ 为当前批次中属于簇 $i$ 的数据点数量
• $b_i$ 为属于簇 $i$ 的当前批次数据点的集合
• $c_i$为簇 $i$ 的当前中心位置
• $n_i$ 为到目前为止分配给簇 $i$ 的总数据点数量（包括当前批次）。
  更新公式如下：

$c_i := \left(1 - \frac{m}{n_i + m}\right) c_i + \frac{m}{n_i + m} \bar{b}_i$

这里：

• $c_i$：簇 $i$ 的中心位置。
• $m$：当前批次中属于簇 $i$ 的数据点数量。
• $n_i$：到目前为止分配给簇 $i$ 的总数据点数量。
• $\bar{b}_i$：当前批次中属于簇 $i$ 的数据点的平均位置。

对公式的每个字符进行解释：

• $c_i$：簇$i$的中心位置。
• $m$：当前批次中属于簇$i$的数据点数量。
• $n_i$：到目前为止分配给簇$i$的总数据点数量。
• $\bar{b}_i$：当前批次中属于簇$i$的数据点的平均位置，计算方式为这批数据点位置的算术平均。

Mini Batch K-Means的优缺点：

• 优点：由于每次迭代只需要处理一小部分数据，所以算法的运行速度比标准K-Means快得多，特别适合处理大规模数据集。
• 缺点：由于更新是基于小批量数据的，最终的聚类结果可能不如标准K-Means精确。此外，结果的稳定性也可能会因批次的不同而有所变化。

Mini Batch K-Means是一种有效的近似方法，能够在保持一定精度的同时，大幅提高处理大规模数据集时的效率。