二分K-Means（Bisecting K-Means）

二分K-Means（Bisecting K-Means）是一种改进的聚类算法，它是K-Means算法的一种变体。

与传统的K-Means算法一次性生成K个聚类不同，二分K-Means通过递归地将一个聚类分裂成两个，直到达到所需的聚类数目。

二分K-Means算法流程：

1. 初始化：将所有数据点视为一个簇。
2. 分裂：从当前的簇中选择一个簇进行分裂。选择的标准通常是选择那些分裂后可以最大程度减少误差平方和（SSE）的簇。
3. 应用K-Means：对选定的簇应用标准的K-Means算法，将其分成两个簇。
4. 评估：检查是否达到了所需的聚类数目。如果没有，返回步骤2；如果达到了，算法结束。

涉及到的公式：

在二分K-Means中，最重要的公式是计算误差平方和（SSE），它用于决定哪个簇应该被分裂以及评估聚类的效果。SSE的公式如下：

$SSE = \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in C_i} (x - \mu_i)^2$

这里：

• $k$ 是聚类的数量；
• $C_i$ 是第 $i$ 个聚类中的所有数据点；
• $x$ 是聚类 $C_i$ 中的某个数据点；
• $\mu_i$ 是聚类 $C_i$ 的质心，计算方式为 $\mu_i = \frac{1}{|C_i|} \sum_{x \in C_i} x$，其中 $|C_i|$ 表示聚类 $C_i$ 中数据点的数量。

对公式中每个字符的解释：

• $\sum$：求和符号，表示对一系列项进行累加。
• $i$：聚类的索引。
• $k$：总的聚类数目。
• $x$：数据集中的一点。
• $C_i$：第$i$个聚类的所有数据点组成的集合。
• $\mu_i$：第$i$个聚类的质心。
• $(x - \mu_i)^2$：数据点$x$与质心$\mu_i$之间的欧氏距离的平方。
• $|C_i|$：聚类$C_i$中数据点的数量。

二分K-Means的目标是通过最小化SSE来获得更加紧凑和分离良好的聚类。

python代码

# 导入所需的库
from sklearn.cluster import KMeans
import numpy as np

# 定义数据点，这是一个二维数组，其中每个子数组代表一个数据点的坐标
data_points = np.array([[1, 2], [1.5, 1.8], [5, 8], [8, 8], [1, 0.6], [9, 11]])

# 定义二分K-Means算法的函数
def bisecting_kmeans(data, k):
    # 初始化，将所有数据点视为一个簇
    clusters = [data]
    
    # 当前簇的数量小于目标簇的数量时，继续循环
    while len(clusters) < k:
        # 初始化最大SSE为0，用于记录当前找到的最大SSE值
        max_sse = 0
        # 初始化要分裂的簇的索引为0
        index_to_split = 0
        # 遍历当前的所有簇
        for i, cluster in enumerate(clusters):
            # 对当前簇使用KMeans算法，将其分为两个簇
            kmeans = KMeans(n_clusters=2).fit(cluster)
            # 计算SSE，即簇内所有点到其所属簇质心距离的平方和
            # 使用np.linalg.norm计算每个点到最近质心的欧氏距离，然后平方求和
            sse = np.sum(np.linalg.norm(cluster - kmeans.cluster_centers_[kmeans.labels_], axis=1) ** 2)
            # 如果当前簇的SSE大于已知的最大SSE，则更新最大SSE和要分裂的簇的索引
            if sse > max_sse:
                max_sse = sse
                index_to_split = i
        
        # 根据找到的具有最大SSE的簇，使用KMeans算法将其分为两个簇
        split_cluster = clusters.pop(index_to_split)
        kmeans = KMeans(n_clusters=2).fit(split_cluster)
        
        # 将分裂后的簇按标签排序后分割成两个簇
        labels_sorted = np.argsort(kmeans.labels_)
        # 使用切片操作，根据标签排序后的结果，将split_cluster分为cluster1和cluster2
        cluster1 = split_cluster[labels_sorted[:len(labels_sorted)//2]]
        cluster2 = split_cluster[labels_sorted[len(labels_sorted)//2:]]
        
        # 将新生成的两个簇添加到clusters列表中
        clusters.append(cluster1)
        clusters.append(cluster2)
    
    # 当达到指定的簇数k时，返回当前的簇列表
    return clusters

# 设置聚类的数量
k = 2

# 调用bisecting_kmeans函数，传入数据点和聚类数量
clusters = bisecting_kmeans(data_points, k)

# 输出最终的聚类结果
for i, cluster in enumerate(clusters):
    print(f"Cluster {i+1}:")
    print(cluster)