文章目录
- Z检验
- 例子
- 数据集
- Z检验步骤
- 步骤1: 确定零假设和备择假设
- 步骤2: 计算Z统计量
- 步骤3: 查Z表确定P值
- 步骤4: 做出决策
- 结论
- t检验
- 1. 单样本t检验
- 2. 独立样本t检验（两样本t检验）
- 3. 配对样本t检验
- 例子
- 1. 单样本t检验示例
- 2. 独立样本t检验示例（假设方差相等）
- 3. 配对样本t检验示例
Z检验
Z检验（Z Test）是一种统计学中的假设检验方法，主要用于在大样本情况下（通常样本容量大于30）评估样本平均数与已知总体平均数之间是否存在显著差异，或者比较两个独立大样本的平均数是否存在显著差异。
这种检验基于这样的前提：样本数据来自于一个正态分布的总体，并且总体的标准差是已知的或者是可以根据样本数据合理估计的。
Z检验的核心在于计算一个统计量Z值，这个Z值表示了观察到的样本均值与假设的总体均值之间的偏离程度，以标准差为单位。计算公式如下：
其中：
计算得到的Z值随后会被与标准正态分布表进行比较，以确定这个差异发生的概率（P值），进而决定是否拒绝原假设（通常是认为两者的均值没有差异）。
如果P值小于事先设定的显著性水平（如0.05），那么就认为样本数据支持拒绝原假设，即样本均值与总体均值或两个样本的平均数之间存在显著差异。
例子
数据集
首先，我们假设超市收集到的30块巧克力的重量数据如下（单位：克）：
巧克力编号 | 重量 |
1 | 98 |
2 | 102 |
3 | 97 |
… | … |
29 | 101 |
30 | 103 |
为了简化，我将直接给出这些数据的统计摘要，而不是列出所有数据点：
- 样本标准差 (s) = 1.2克
- 样本大小 (n) = 30
Z检验步骤
步骤1: 确定零假设和备择假设
步骤2: 计算Z统计量
因此
步骤3: 查Z表确定P值
接下来，我们需要查找标准正态分布表或使用统计软件/计算器找到Z值为-2.88时对应的累积概率，从而得到右侧尾部的概率，因为是双侧检验，所以P值应该是两侧之和的一半。
从标准正态分布表中查得，对于Z=-2.88，右侧尾部的概率约为0.0019。因此，双侧P值为
步骤4: 做出决策
一般而言，如果P值小于显著性水平（例如0.05），我们将拒绝零假设。在这个例子中，P值=0.0038远小于0.05，所以我们有足够的证据拒绝零假设。
结论
基于这个Z检验，我们可以得出结论，超市收集到的巧克力样本平均重量与厂家声称的100克存在显著差异（P < 0.05）。这意味着根据样本数据，我们有理由相信这种巧克力的平均重量不等于100克。
t检验
t检验，又称为Student’s t检验，是一种在统计学中广泛使用的假设检验方法，主要用来判断两组数据的平均值（均值）是否存在显著性差异。
它适用于样本数量相对较小（通常n<30，尽管这个界限不是绝对的）,并且总体标准差未知的情况。t检验基于t分布，这是一种在小样本情况下对正态分布数据进行推断的连续概率分布。
1. 单样本t检验
前提条件：数据应近似正态分布。
零假设（H0）：样本均值μ等于一个已知的总体均值μ₀。
公式：
决策：将计算出的t值与t分布表中的临界值比较，或者计算p值，如果p值小于显著性水平（如α=0.05），则拒绝H0，认为样本均值与总体均值之间存在显著差异。
2. 独立样本t检验（两样本t检验）
前提条件：两组数据独立且各自来自正态分布的总体，且两组的方差相等（同方差性）或不等（异方差性）。
零假设（H0）：两组样本的总体均值相等（μ₁ = μ₂）。
公式：取决于是否满足方差齐性。
- 方差相等时（ pooled variance ）:
- 方差不等时（Welch’s t-test）:
公式较为复杂，通常直接使用统计软件计算。
决策：同样通过比较t值与临界值或计算得到的p值来决定是否拒绝零假设。
3. 配对样本t检验
前提条件：配对数据需满足正态分布，且差值也应近似正态分布。
零假设（H0）：配对样本的总体均差为零（即处理前后的差异不显著）。
公式：
决策：与上述相同，依据t值或p值决定是否拒绝H0。
例子
为了便于理解，我们将使用假定的数据集，并假设我们正在使用α=0.05作为显著性水平。
1. 单样本t检验示例
问题：研究者想知道某工厂生产的一批产品的平均重量是否与规定的250克一致。
步骤：
- 提出假设：
- 计算t统计量：
- 查表或计算p值：使用t分布表或统计软件，找到自由度(df=n-1=14)，对应双侧检验的t值约为-1.761（对于α=0.05）。
- 决策：因为|t|=|-1.633| < |-1.761|，我们不能拒绝H0，意味着没有足够证据表明这批产品的平均重量与250克有显著差异。
2. 独立样本t检验示例（假设方差相等）
问题：比较两种教学方法对学生考试成绩的影响。
方法A的样本（n1=20）平均分是85，标准差是5；
方法B的样本（n2=25）平均分是80，标准差也是5。
步骤：
- 提出假设：
- 计算t统计量：
- 查表或计算p值：自由度为n1+n2-2=43，查t分布表或用软件得到对应双侧检验的临界值约为±2.015（α=0.05）。
- 决策：因为|t|=2.92 > 2.015，我们拒绝H0，认为两种教学方法对学生成绩的影响有显著差异。
3. 配对样本t检验示例
问题：研究一种新药的效果，测量了10名患者治疗前后的血压变化。治疗前平均血压为140mmHg，治疗后为130mmHg，差值的样本标准差为4mmHg。
步骤：
- 提出假设：
- 计算t统计量：
- 查表或计算p值：自由度为n-1=9，查表或计算得到对应的双侧检验临界值远小于7.07。
- 决策：因为t值非常大，相应的p值会极小，远远小于α=0.05，我们强烈拒绝H0，表明治疗确实引起了血压的显著下降。
请注意，这些例子中的计算简化了许多细节，实际应用中应使用精确数值进行计算，并考虑数据是否满足t检验的前提条件。
