Number Sequence

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)

​

Total Submission(s): 109021    Accepted Submission(s): 26499



Problem Description

A number sequence is defined as follows:

f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

Given A, B, and n, you are to calculate the value of f(n).

 


Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains 3 integers A, B and n on a single line (1 <= A, B <= 1000, 1 <= n <= 100,000,000). Three zeros signal the end of input and this test case is not to be processed.

 


Output

For each test case, print the value of f(n) on a single line.

 


Sample Input

1 1 3 1 2 10 0 0 0

 


Sample Output

2 5

 


Author

CHEN, Shunbao

 


Source

​​ZJCPC2004​​

 


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解析：首先，观察数据范围，1<=n<=10^8，直接用f[n]来记录是不行的，会爆空间。那么，我们就要考虑一下能否找找规律。

f(n) = (A * f(n - 1) + B * f(n - 2)) mod 7.

在这里我们用xi代表f[i]，f[i+1]组成的排列（f[i]在前，f[i+1]在后）。


由这个递推公式我们可以得出两点：

①x(n-2)决定了f[m](m>=n)的值，换句话说，如果存在i<j，xi==xj，则从i到j-1构成一个循环。

②这个数列是存在循环的，且循环长度一定小于等于49；

    由题可知，0<=f[i]<=6，那么f[i]、f[i+1]可能构成的排列一共只有49种，即xi只有49种情况。

    由此可以推论出：对于x50，必然存在1<=i<=49，使得xi==x50。

    证明：

        命题一：若对于任意的1<=i<j<=49，xi！=xj，也就是说，前49个排列全都是不相同的，那么一定存在xi==x50。

                      用反证法：假设不存在xi==x50，则不相同的排列就有50种。在前面已经提到过，不相同排列最多只有49种，矛盾，故命题成立。

        命题二：若存在1<=i<j<=49，xi==xj，则一定存在x（y）==x50（1<=y<=49）；

                      前面已经提过，若存在xi==xj（i!=j），则从i 到 j-1 就构成一个循环。若命题二的假设成立，则在前49个xi中，必存在一个循环节，设循环节的起点为s，长度为len，则一定有1<=s<=y<=s+len-1<=49，y+n*len==50，x(y)==x50，命题二得证。

对于x50，必然存在1<=i<=49，使得xi==x50。

   有了这两点，解题思路也就很明晰了。从1到49循环，若有xi==x50，则循环起点为s=i，len=50-i+1。

代码如下： 

#include<cstdio>
using namespace std;

int f[1000],a,b,n,s,len;

void init()
{
  freopen("hdu1005.in","r",stdin);
  freopen("hdu1005.out","w",stdout);
}

void work()
{
  int i,j,k,s,len;
  f[1]=f[2]=f[0]=1;
  while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&n)==3,a)
    {
      for(i=3;i<=70;i++)f[i]=(f[i-1]*a+f[i-2]*b)%7;
      for(i=1;i<=49;i++)if(f[i]==f[50] && f[i+1]==f[51]){s=i,len=50-i;break;}
      
      if(n<s)printf("%d\n",f[n]);
      else printf("%d\n",f[(n-s+1)%len+s-1]);
    }
}

int main()
{
  init();
  work();
  return 0;
}