中国剩余定理

题目：

题目描述

人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

 

输入

你会得到一些病例。每种情况的输入由一行四个整数p、e、i和d组成。值p、e和i分别是物理、情绪和智力周期从今年初开始达到高峰的天数。值d是给定日期，并且可能小于任何p、e或i。所有值都是非负值，最多为365，并且可能假设在给定日期的21252天内将出现三重峰值。终止输入最后一行为p= e= i= d＝- 1。

输出

对于每个测试用例，打印用例号，后面跟着一条消息，指示到下一个三重峰值的天数，格式为： 
案例1：下一个三峰出现在1234天。               
即使答案是1，也要用复数形式的“天”。 

样例输入

0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1

样例输出

Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.

 

借此题学习中国剩余定理：

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。具体解法分三步：
1.找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
2.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

中国剩余定理分析
我们将“孙子问题”拆分成几个简单的小问题，从零开始，试图揣测古人是如何推导出这个解法的。
首先，我们假设n1是满足除以3余2的一个数，比如2，5，8等等，也就是满足3*k+2（k>=0）的一个任意数。同样，我们假设n2是满足除以5余3的一个数，n3是满足除以7余2的一个数。
有了前面的假设，我们先从n1这个角度出发，已知n1满足除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满足除以3余2？进而使得n1+n2+n3的和仍然满足除以3余2？
这就牵涉到一个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为非零整数)，换句话说，如果一个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。这个是很好证明的。
以此定理为依据，如果n2是3的倍数，n1+n2就依然满足除以3余2。同理，如果n3也是3的倍数，那么n1+n2+n3的和就满足除以3余2。这是从n1的角度考虑的，再从n2，n3的角度出发，我们可推导出以下三点：

 

最终结果是n1+n2+n3。则n1、n2、n3必须满足
n1%3==2        n2%5==3        n3%7==2
n2%3==0        n1%5==0        n1%7==0
n3%3==0        n3%5==0        n2%7==0

满足以上三组(3列)条件的N=n1+n2+n3一定满足:
    N%3==2且N%5==3且N%7==2

即：
1.为使n1+n2+n3的和满足除以3余2，n2和n3必须是3的倍数。
2.为使n1+n2+n3的和满足除以5余3，n1和n3必须是5的倍数。
3.为使n1+n2+n3的和满足除以7余2，n1和n2必须是7的倍数。
 因此，为使n1+n2+n3的和作为“孙子问题”的一个最终解，需满足：
4.n1除以3余2，且是5和7的公倍数。
5.n2除以5余3，且是3和7的公倍数。
6.n3除以7余2，且是3和5的公倍数。

所以，孙子问题解法的本质是从5和7的公倍数中找一个除以3余2的数n1，从3和7的公倍数中找一个除以5余3的数n2，从3和5的公倍数中找一个除以7余2的数n3，再将三个数相加得到解。在求n1，n2，n3时又用了一个小技巧，以n1为例，并非从5和7的公倍数中直接找一个除以3余2的数，而是先找一个除以3余1的数，再乘以2。

n1%3==1 则 2*n1%3==n1%3+n1%3==1+1==2
即真正的n1=2*n1 满足n1%3==2  

这里又有一个数学公式，如果a%b=c，那么（a*k）%b=a%b+a%b+…+a%b=c+c+…+c=kc（k>0）,也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数的k倍与除数相除的余数为kc。展开式中已证明。
 最后，我们还要清楚一点，n1+n2+n3只是问题的一个解，并不是最小的解。如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7的公倍数105即可(%最小公倍数不影响三个模除性质)。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。所以（n1+n2+n3）%105就是最终的最小解。

总结
经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学定理的灵活运用：
如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k为非零整数)。
如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc (k为大于零的整数)。

 

下面来用中国剩余定理用O(1)解决这个似乎只有暴力才能解决的问题

输入:
p:体力高峰第一天   周期T1=23
e:情感高峰第一天   周期T2=28
i:智力高峰第一天   周期T3=33
d:答案是距离d天后多少天

则：假设答案为N
p+23*k1==(N+d)
e+28*k2==(N+d)
i+33*k3==(N+d)
即：
(N+d)%23==p  //实际等于p%23   余数p%23
(N+d)%28==e  //实际等于e%28   余数e%28
(N+d)%33==i  //实际等于i%33     余数i%33

28和33最小公倍数除23余1为 28*33*k1%23==1
23和33最小公倍数除28余1为 23*33*k2%28==1
23和38最小公倍数除33余1为 23*28*k3%33==1

借助辅助程序nn.cpp求得
分别为 5544 14421 1288
即：
n1=5544*(p%23)    //使得余数不是1而是(p%23)
n2=14421*(e%28)
n3=1288*(i%33)

23 33 28互质 最小公倍数23*33*28==21252

N+d=(n1+n2+n3)%(21252)
N=(n1+n2+n3)%21252-d

防止负值(d过大):N=(N+21252)%21252

简化：

((n1+n2+n3)%21252-d+21252)%21252==（n1+n2+n3-d+21252）%21252

辅助程序nn.cpp

#include<iostream>     
#include<algorithm>
using namespace std;


//最大公约数
int gcd(int a,int b){
  if(b==0) return a;
  return gcd(b,a%b);
  //或者一行
  //return !b?a:gcd(b,a%b);
}

//最小公倍数
int lcm(int a,int b){
  return a/gcd(a,b)*b;
  //(a*b)/(a b的最大公约数)
}

//返回 a，b最小公倍数%c==1
int nn(int a,int b,int c){
  int lc=lcm(a,b);
  for(int i=1;;i++)
    if(lc*i%c==1) return lc*i;
  
}


int main(){
  int a,b;
  cout<<23<<":"<<nn(28,33,23)<<endl;
  cout<<23<<":"<<nn(33,23,28)<<endl;
  cout<<23<<":"<<nn(28,23,33)<<endl;
  
  return 0;
}

 

开始例题最终代码：

#include<iostream>  
#include<cstdio>   
using namespace std;
int main(){
  int p,e,i,d;
  int n1,n2,n3,N;
  int index=1;
  while(cin>>p>>e>>i>>d&&p!=-1){
    n1=5544*(p%23);
    n2=14421*(e%28);
    n3=1288*(i%33);
    //%23 %28 %33有没有都无所谓 
    N=(n1+n2+n3)%21252-d;
    N=(N+21252)%21252;//防止d太大 第一个在d天前 只能等第二个  由于没21252天必然出现三峰，则21252是周期
    if(N==0) N=21252;//有任意一天为0 都是21252
    printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",index++,N);
  }
  return 0;
}

简化版：

#include<iostream>  
#include<cstdio>   
using namespace std;
int main(){
  int p,e,i,d;
  int n1,n2,n3,N;
  int index=1;
  while(cin>>p>>e>>i>>d&&p!=-1){
    n1=5544*(p%23);
    n2=14421*(e%28);
    n3=1288*(i%33);
    N=(n1+n2+n3-d+21252)%21252;
    if(N==0) N=21252;//有任意一天为0 都是21252
    printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",index++,N);
  }
  return 0;
}