算法笔记5.8 组合数

1.关于n!的一个问题

问题描述：求n!中有多少个质因子p.(注意是质因子，不是因子)

此题是5.5节质因子分解中的一个小分支，当时求质因子这块用的就是最笨的暴力枚举法，研究完本节，则前面的算法还可进一步优化！

方法1.暴力枚举法

//暴力计算n!中有多少个质因子p
int cal(int n,int p){
  int ans=0;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    int temp=i;
    while(temp%p==0){
      ans++;
      temp/=p;
    }
  }
  return ans;
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;

//暴力计算n!中有多少个质因子p
int cal(int n,int p){
  int ans=0;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    int temp=i;
    while(temp%p==0){
      ans++;
      temp/=p;
    }
  }
  return ans;
}

int main(){
  int n,p;
  while(cin>>n>>p){
    cout<<n<<"!中质因子"<<p<<"的个数为:"<<cal(n,p)<<endl;
  }
  return 0;
}

过了好几秒

 

 

 

方法2.高效算法

n!中有{n/p+n/p^2+n/p3+...}个质因子p

//利用公式求n！中质因子p的个数
int cal(int n,int p){
  int ans=0;
  while(n){
    ans+=n/p;
    n/=p;110
  }
  return ans;
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;

//利用公式求n！中质因子p的个数
int cal(int n,int p){
  int ans=0;
  while(n){
    ans+=n/p;
    n/=p;
  }
  return ans;
}

int main(){
  int n,p;
  while(cin>>n>>p){
    cout<<n<<"!中质因子"<<p<<"的个数为:"<<cal(n,p)<<endl;
  }
  
  return 0;
}

 

补充：递归写法

//利用公式求n！中质因子p的个数
int cal(int n,int p){
  if(n<p) return 0;
  return n/p+cal(n/p,p);
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;

//利用公式求n！中质因子p的个数
int cal(int n,int p){
  if(n<p) return 0;
  return n/p+cal(n/p,p);
}

int main(){
  int n,p;
  while(cin>>n>>p){
    cout<<n<<"!中质因子"<<p<<"的个数为:"<<cal(n,p)<<endl;
  }
  return 0;
}

O(logn)即使递归也很快

 

2.组合数的计算

此处主要求C(n,m) n>=m  从n个物品中取出m个物品的取法

方法一：通过定义式直接计算

即使用long long  也只能计算n<=20的数据  结果本身可能很小，但n!却因为太大而溢出

typedef long long ll;
ll C(ll n,ll m){
  ll ans=1;
  //n!
  for(ll i=1;i<=n;i++){
    ans*=i;
  }
  //除以m!
  for(ll i=1;i<=m;i++){
    ans/=i;
  }
  //除以(n-m)!
  for(ll i=1;i<=n-m;i++){
    ans/=i;
  }
  return ans;
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;
typedef long long ll;
ll C(ll n,ll m){
  ll ans=1;
  //n!
  for(ll i=1;i<=n;i++){
    ans*=i;
  }
  //除以m!
  for(ll i=1;i<=m;i++){
    ans/=i;
  }
  //除以(n-m)!
  for(ll i=1;i<=n-m;i++){
    ans/=i;
  }
  return ans;
}

int main(){
  int n,m;
  while(cin>>n>>m){
    cout<<"C("<<n<<","<<m<<")="<<C(n,m)<<endl;
  }
  return 0;
}

n>21就无法计算了

 

方法2：利用递推公式计算

c(n,m)=c(n-1,m-1)+c(n-1,m)

c(0,0)=c(n,n)=1正好作为递归边界

typedef long long ll;
const int N=67;
ll res[N][N]={0};
ll C(ll n,ll m){
  if(m==0 || m==n) return 1;
  if(res[n][m]!=0) return res[n][m];//减少递归次数 提高效率
  return res[n][m]=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=67;
ll res[N][N]={0};
ll C(ll n,ll m){
  if(m==0 || m==n) return 1;
  if(res[n][m]!=0) return res[n][m];//减少递归次数 提高效率
  return res[n][m]=C(n-1,m)+C(n-1,m-1);
}

int main(){
  ll n,m;
  while(cin>>n>>m){
    cout<<"C("<<n<<","<<m<<")="<<C(n,m)<<endl;
  }  
  return 0;
}

 

将递推改成直接计算

//直接计算出整张表  其实就是求杨辉三角
const int n=20+1;
long long res[n][n]={0};
void calC(){
  for(int i=0;i<n;i++){
    res[i][0]=res[i][i]=1;//初始化边界
  }
  //利用杨辉三角理解
  for(int i=2;i<n;i++){//00 11 10 都算出来
    for(int j=0;j<=i/2;j++){
      res[i][j]=res[i-1][j]+res[i-1][j-1];
      res[i][i-j]=res[i][j];//另外半部分直接算出来
    }
  }
}

样例

#include<iostream>     
using namespace std;

//直接计算出整张表  其实就是求杨辉三角
const int n=20+1;
long long res[n][n]={0};
void calC(){
  for(int i=0;i<n;i++){
    res[i][0]=res[i][i]=1;//初始化边界
  }
  //利用杨辉三角理解
  for(int i=2;i<n;i++){//00 11 10 都算出来
    for(int j=0;j<=i/2;j++){
      res[i][j]=res[i-1][j]+res[i-1][j-1];
      res[i][i-j]=res[i][j];//另外半部分直接算出来
    }
  }
}

int main(){
  calC();//先直接算出整张表来
  // int n,m;
  // while(cin>>n>>m){
  //  cout<<"C("<<n<<","<<m<<")="<<res[n][m]<<endl;
  // }
  int N;
  cin>>N;
  for(int i=0;i<N;i++){
    for(int j=0;j<=i;j++){
      cout<<res[i][j]<<" ";
    }
    cout<<endl;
  }
  return 0;
}

方法二N取大了没用，（67,33）开始溢出

下面方法（62,31开始溢出）

 

方法三：通过定义式的变形来计算

eg：C(9,4)
6 7 8 9
-×-×-×-
1 2 3 4

先计算6/1再乘上7/2再乘上8/3再乘上9/4
而6/1=c(6,1)
  (6*7)/(1*2)=c(7,2)
  (6*7*8)/(1*2*3)=c(8,3)
  ...   一定都是整数，即都能整除

 

typedef long long ll;
ll calC(ll n,ll m){
  ll ans=1;
  for(ll i=1;i<=m;i++){
    ans=ans*(n-m+i)/i;
  }
  return ans;
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;
typedef long long ll;
ll calC(ll n,ll m){
  ll ans=1;
  for(ll i=1;i<=m;i++){
    ans=ans*(n-m+i)/i;
  }
  return ans;
}

int main(){
  int n,m;
  while(cin>>n>>m){
    cout<<"C("<<n<<","<<m<<")="<<calC(n,m)<<endl;
  }
  return 0;
}

 

3.计算C(n,m)%p

暂且写下最简单最实用的方法一

方法一：对（res[i-1][j]+res[i-1][j-1]）相加后整体取余就不会错的

const int N=1010;
int res[N][N]={0};
//递归
int calC(int n,int m,int p){
  if(m==0||m==n) return 1;
  if(res[n][m]!=0) return res[n][m];
  return res[n][m]=(calC(n-1,m,p)+calC(n-1,m-1,p))%p;
}

样例：

#include<iostream>     
using namespace std;

const int N=1010;
int res[N][N]={0};
//递归
int calC(int n,int m,int p){
  if(m==0||m==n) return 1;
  if(res[n][m]!=0) return res[n][m];
  return res[n][m]=(calC(n-1,m,p)+calC(n-1,m-1,p))%p;
}

int main(){
  int m,n,p;
  while(cin>>n>>m>>p){
    cout<<"C("<<n<<","<<m<<")%"<<p<<"="<<calC(n,m,p)<<endl;
  }
  
  return 0;
}

 

方法一非递归写法：

#include<iostream>     
using namespace std;

const int N=1010;
int res[N][N]={0};
//非递归
int n=1000;
int p=10000;
void calC(){
  for(int i=0;i<=n;i++){
    res[i][0]=res[i][i]=1;
  }
  for(int i=2;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=i/2;j++){
      res[i][j]=(res[i-1][j]+res[i-1][j-1])%p;
      res[i][i-j]=res[i][j];
    }
  }
}

int main(){
  calC();
  int m,n;
  while(cin>>n>>m){
    cout<<"C("<<n<<","<<m<<")%"<<p<<"="<<res[n][m]<<endl;
  }
  
  return 0;
}