day21
474. 一和零
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题目
给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
请你找出并返回 strs 的最大子集的长度,该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
如果 x 的所有元素也是 y 的元素,集合 x 是集合 y 的 子集 。
示例 1:
输入:strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出:4
解释:最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ,因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意,因为它含 4 个 1 ,大于 n 的值 3
示例 2:
输入:strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出:2
解释:最大的子集是 {"0", "1"} ,所以答案是 2
提示:
1 <= strs.length <= 600
1 <= strs[i].length <= 100
strs[i] 仅由 '0' 和 '1' 组成
1 <= m, n <= 100
思路
本题中strs 数组里的元素就是物品,每个物品都是一个!
而 m 和 n 相当于是一个背包,两个维度的背包。
本题是01背包问题!
这不过这个背包有两个维度,一个是 m 一个是 n,而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j]:最多有 i个0 和 j个1 的 strs 的最大子集的大小为 dp[i][j]。
- 确定递推公式
dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来,strs里的字符串有zeroNum个0
,oneNum个1
。
dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1
。
然后我们在遍历的过程中,取dp[i][j]的最大值。
所以递推公式:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
此时大家可以回想一下01背包的递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
对比一下就会发现,字符串的 zeroNum 和 oneNum 就相当于是物品的重量(weight[i]),字符串本身的个数就相当于物品的价值(value[i])。
这就是一个典型的01背包! 只不过物品的重量有了两个维度而已。
- dp数组如何初始化
因为物品价值不会是负数,初始为0,保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们讲到了01背包为什么一定是外层for循环遍历物品,内层for循环遍历背包容量是从后向前遍历!
那么本题也是,物品就是 strs 里的字符串,背包容量就是题目描述中的 m 和 n。
- 举例推导dp数组
以输入:[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”],m = 3,n = 3为例
最后dp数组的状态如下所示:
代码实现
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-06 21:41
*/
public class _474_一和零 {
public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
// dp[i][j] 表示i个0 和 j个1 时的最大子集
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
int oneNum, zeroNum;
for (String str : strs) {
oneNum = 0;
zeroNum = 0;
for (char ch : str.toCharArray()) {
if (ch == '0') {
zeroNum++;
} else {
oneNum++;
}
}
// 倒序遍历
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
完全背包理论基础
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是,每种物品有无限件。
在下面的讲解中,我依然举这个例子:
背包最大重量为4。
物品为:
每件商品都有无限个!
问背包能背的物品最大价值是多少?
01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上,所以本文就不去做动规五部曲了,我们直接针对遍历顺序经行分析!
首先再回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历,为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:
// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
dp状态图如下:
为什么遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环 ?
01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了,一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品,再遍历背包容量。
在完全背包中,对于一维dp数组来说,其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓!
因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环,状态如图:
遍历背包容量在外层循环,遍历物品在内层循环,状态如图:
两个for循环的先后循序,都不影响计算dp[j]所需要的值(这个值就是下标j之前所对应的dp[j])
代码实现
/**
* @author xiexu
* @create 2022-04-06 22:20
*/
public class 完全背包理论基础_先物品再背包 {
public static void main(String[] args) {
test_CompletePack();
}
public static void test_CompletePack() {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int i = 0; i < weight.length; i++) { // 先遍历物品
for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 再遍历背包容量
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}
}
/**
* @author xiexu
* @create 2022-04-06 22:45
*/
public class 完全背包理论基础_先背包再物品 {
public static void main(String[] args) {
test_CompletePack();
}
public static void test_CompletePack() {
int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 先遍历背包容量
for (int i = 0; i < weight.length; i++) { // 再遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
//打印dp数组
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
System.out.print(dp[j] + " ");
}
}
}
518. 零钱兑换 II
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题目
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币,另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额,返回 0
假设每一种面额的硬币有无限个。
题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。
示例 1:
输入:amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出:4
解释:有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2:
输入:amount = 3, coins = [2]
输出:0
解释:只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3
示例 3:
输入:amount = 10, coins = [10]
输出:1
提示:
1 <= coins.length <= 300
1 <= coins[i] <= 5000
coins 中的所有值 互不相同
0 <= amount <= 5000
思路
排列 和 组合 的区别 ?
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合,都是 2 2 1。
如果问的是排列数,那么上面就是两种排列了。
组合不强调元素之间的顺序,排列强调元素之间的顺序。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] (考虑coins[i]的组合总和) 就是所有的 dp[j - coins[i]](不考虑coins[i])相加。
所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];
求装满背包有几种方法,一般公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];
- dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。
从dp[i]的含义上来讲就是,凑成总金额0的货币组合数为1。
下标非0的dp[j]初始化为0,这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]
- 确定遍历顺序
先遍历物品,再遍历背包
外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额)的情况。
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数!
先遍历背包再遍历物品
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数!
- 举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:
最后红色框dp[amount]为最终结果。
总结
在求装满背包有几种方案的时候,认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
代码实现
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-06 22:58
*/
public class _518_零钱兑换_II {
public int change(int amount, int[] coins) {
// dp[j]:凑成总金额j的货币组合数为 dp[j]
int[] dp = new int[amount + 1];
// 初始化dp数组,表示金额为0时只有一种情况,也就是什么都不装
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
}
377. 组合总和 Ⅳ
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题目
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ,和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
示例 1:
输入:nums = [1,2,3], target = 4
输出:7
解释:
所有可能的组合为:
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
示例 2:
输入:nums = [9], target = 3
输出:0
提示:
1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 1000
nums 中的所有元素 互不相同
1 <= target <= 1000
思路
弄清什么是组合,什么是排列很重要。
组合不强调顺序,(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序,(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]: 凑成目标正整数为 j 的排列个数为 dp[j]
- 确定递推公式
dp[j](考虑nums[i])可以由 dp[j - nums[i]](不考虑nums[i]) 推导出来。
因为只要得到 nums[i],排列个数dp[j - nums[i]],就是dp[j]的一部分。
- dp数组如何初始化
因为递推公式 dp[j] += dp[j - nums[i]]
的缘故,dp[0]要初始化为1,这样递归其他dp[j]的时候才会有数值基础。
非0下标的dp[j]初始化为0,这样才不会影响dp[j]累加所有的 dp[j - nums[i]]
。
- 确定遍历顺序
个数可以不限使用,说明这是一个完全背包。
得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
如果把遍历nums(物品)放在外循环,遍历target的作为内循环的话,举一个例子:计算dp[4]的时候,结果集只有 {1,3} 这样的集合,不会有{3,1}这样的集合,因为nums遍历放在外层,3只能出现在1后面!
所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target(背包)放在外循环,将nums(物品)放在内循环,内循环从前到后遍历。
- 举例来推导dp数组
代码实现
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum-iv/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-07 00:03
*/
public class _377_组合总和_Ⅳ {
public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
// dp[j]: 凑成目标正整数为j的排列个数为dp[j]
int[] dp = new int[target + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j <= target; j++) { // 先遍历背包
for (int i = 0; i < nums.length; i++) { // 再遍历物品
if (j >= nums[i]) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
}
70. 爬楼梯 (进阶版)
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题目
一步一个台阶,两个台阶,三个台阶,…,直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢 ?
1阶,2阶,… m阶就是物品,楼顶就是背包。
每一阶可以重复使用,例如跳了1阶,还可以继续跳1阶。
问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。
思路
可以发现这道进阶版的题目是完全背包问题
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]:爬到有j个台阶的楼顶,有dp[j]种方法
- 确定递推公式
求装满背包有几种方法,递推公式一般都是 dp[j] += dp[j - nums[i]];
本题呢,dp[j]有几种来源,dp[j - 1],dp[j - 2],dp[j - 3] 等等,即:dp[j - i]
那么递推公式为:dp[j] += dp[j - i]
- dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[j] += dp[j - i]
,那么dp[0] 一定为1,dp[0]是递归中一切数值的基础所在,如果 dp[0] 是 0 的话,其他数值都是0了。
下标非0的dp[j]初始化为0,因为 dp[j]
是靠 dp[j-i
] 累计上来的,dp[j]
本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题,即:1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶,但是这两种方法不一样!
所以需将target放在外循环,将nums放在内循环。
每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后
遍历。
- 举例来推导dp数组
代码实现
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-07 21:00
*/
public class _70_爬楼梯 {
public int climbStairs(int n) {
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// m表示最多可以爬m个台阶,代码中把m改成2就是本题70.爬楼梯可以AC的代码了
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (j >= i) {
dp[j] += dp[j - i];
}
}
}
return dp[n];
}
}
322. 零钱兑换
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题目
给你一个整数数组 coins ,表示不同面额的硬币;以及一个整数 amount ,表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1:
输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出:3
解释:11 = 5 + 5 + 1
示例 2:
输入:coins = [2], amount = 3
输出:-1
示例 3:
输入:coins = [1], amount = 0
输出:0
提示:
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
0 <= amount <= 10^4
思路
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
- 确定递推公式
得到dp[j](考虑coins[i]),只有一个来源,dp[j - coins[i]](没有考虑coins[i])。
凑足总额为 j - coins[i]
的最少个数为 dp[j - coins[i]]
,那么只需要加上一个钱币coins[i]
即 dp[j - coins[i]] + 1
就是 dp[j](考虑coins[i])
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1
中最小的。
递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢?
考虑到递推公式的特性,dp[j] 必须初始化为一个最大的数,否则就会在 min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])
比较的过程中会被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
- 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
所以本题的两个for循环的关系是:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包
或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品
都是可以的!
那么我采用coins放在外循环,target在内循环的方式。
本题钱币数量可以无限使用,那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
综上所述,遍历顺序为:coins(物品)放在外循环,target(背包)在内循环。且内循环正序。
- 举例推导dp数组
以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
dp[amount]
为最终结果。
代码实现
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-07 21:22
*/
public class _322_零钱兑换 {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
// dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
int[] dp = new int[amount + 1];
// 给dp数组所有数加上最大值
Arrays.fill(dp, max);
// 当金额为0时需要的硬币数目为0
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.length; i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
// 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
if (dp[j - coins[i]] != max) {
// 选择硬币数目最小的情况
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}
}
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-07 21:22
*/
public class _322_零钱兑换_先背包再物品 {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
// dp[j]:凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
int[] dp = new int[amount + 1];
// 给dp数组所有数加上最大值
Arrays.fill(dp, max);
// 当金额为0时需要的硬币数目为0
dp[0] = 0;
for (int j = 1; j <= amount; j++) { // 先遍历背包
for (int i = 0; i < coins.length; i++) { // 再遍历物品
if (j - coins[i] >= 0 && dp[j - coins[i]] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];
}
}
279. 完全平方数
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题目
给你一个整数 n ,返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。
示例 1:
输入:n = 12
输出:3
解释:12 = 4 + 4 + 4
示例 2:
输入:n = 13
输出:2
解释:13 = 4 + 9
提示:
思路
把题目翻译一下:完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品 ?
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由 dp[j - i * i]
推出, dp[j - i * i] + 1
便可以凑成 dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。
有同学问题,那0 * 0 也算是一种啊,为啥dp[0] 就是 0呢?
看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, …),题目描述中可没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢?
从递归公式 dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
中可以看出每次 dp[j] 都要选最小的,所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
本题是求最小数
所以本题外层for遍历背包,内层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的!
- 举例推导dp数组
以输入n为5例,dp状态图如下:
最后的dp[n]为最终结果。
代码实现
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-07 22:05
*/
public class _279_完全平方数 {
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化
Arrays.fill(dp, max);
// 当和为0时,组合的个数为0
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 先遍历物品
for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 再遍历背包
if (dp[j - i * i] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}
/**
* https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
*
* @author xiexu
* @create 2022-04-07 22:05
*/
public class _279_完全平方数_先背包再物品 {
public int numSquares(int n) {
int max = Integer.MAX_VALUE;
int[] dp = new int[n + 1];
// 初始化
Arrays.fill(dp, max);
// 当和为0时,组合的个数为0
dp[0] = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 先遍历背包
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 再遍历物品
if (j - i * i >= 0 && dp[j - i * i] != max) {
dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
}
}
}
return dp[n];
}
}