《复分析：可视化方法》是复分析领域的一部名著，开创了数学领域的可视化潮流，自首次出版以来，已重印了十多次，深受世界读者好评。
首版豆瓣评分给到了9.9的高分，第二版同样有着9.6的高分。读者更是对这本书不吝溢美之词。
“精妙绝伦的好书，几何直观的思想是如此地强大”
"最好的教科书，最美妙的数学。"
"完美的作品"
"如果有数学教材奥斯卡的话，这本书绝对会连年当选。"
《复分析：可视化方法》用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。作者通过大量的图示使原本比较抽象的数学概念，变得直观易懂，读者在透彻理解理论的同时，还能充分领略数学之美。
该书译者为武汉大学前校长、著名数学家、教育家齐民友（1930年2月-2021年8月）先生。本书引起了广泛的关注和讨论，齐老师也有些个人思考，于是他以这本书为例，做了深刻的探讨，写下了这篇“译后记”。
来源 | 《复分析：可视化方法》
作者 | [美]特里斯坦·尼达姆
译者 | 齐民友
《复分析：可视化方法》译后记
我在翻译过程中看到几位读者对本书的评论, 还有一些刊物上的书评, 以及读过部分内容的读者的意见。他们几乎一致的看法是, 这本书有很高的独创性：在一门有近200年历史, 而且已经有了数十部公认名著的基础分支学科里, 能够写出如此不同凡响的著作, 实在难得。
但是应该承认, 本书仍然是一本基础教科书。因为一方面它的基本内容确实属于复分析的传统领域; 另一方面, 它所要求于读者的预备知识也仅限于“比较认真地”读过微积分与线性代数（当然, “比较认真地”也是说起来容易做起来难）。那么, 还有什么可以向读者说一说的呢？
齐民友（1930年2月-2021年8月）
Ⅰ
这本书的书名就标明了可视化。可视化当然属于当前最热门的时尚“品牌”, 而且完全是由信息技术派生出来的。
那么, 本书的要点是否是教读者如何使用计算机之类的方法呢？否。本书确实强调计算机的作用, 甚至许多习题需要用计算机来完成。但是, 正如作者指出的那样, 应该像物理学家对待实验室那样对待计算机：用它来发现或验证新思想, 解决新问题。
作者认为, 他的这本书出生于“牛顿的《原理》一书的创世纪中”。他从牛顿那里学到了方法, 甚至学到了技巧。这就是强调问题的几何本质; 或者说, 强调从事物的几何与物理侧面来直观地理解事物。
著名数学家克莱因（即埃尔朗根纲领的提出者）在他的名著《高观点下的初等数学》（此书中译本由复旦大学出版社出版）的第1卷关于“数学的现代发展及一般结构”的一节中指出, 数学的发展和教学有三种进程, 即进程A、进程B和进程C。
进程A的特点是强调概念的明确性, 逻辑上的无懈可击, 方法的单纯性, 逐步演绎, 环环相扣, 绝无不必要的引申, 总之, 使数学成为严整的体系。其陈述方式是：定义、定理、证明、推论, 等等, 每句话、每个式子都要有根据。
进程B, 这是克莱因特别推崇的进程, 强调数学概念的生成和发展, 强调各个分支的相互联系, 强调逻辑推理背后的直觉和物理内涵。其陈述方式主张夹叙夹议, 娓娓道来, 生动活泼, 发人深省。已故的吴大任教授在为《高观点下的初等数学》中译本写的序言中说, 克莱因的思想可以用“融合”二字来概括：数学与物理学的融合, 数学各分支的融合, 逻辑推理与直觉的融合, 还有数学的逻辑展开与历史发展的融合。
比较克莱因的说法与作者的说法, 这本书可以说是作者在按照进程B帮助读者教或学复分析上所做的努力, 而作者取得的成功是有目共睹的。
进程C是另外一回事, 这里不去讨论。
如果要比较进程A和进程B的优劣, 就会得到进程B远优于进程A的结论。本书作者当然是这样看的。但是, 克莱因尽管充分评价进程B, 而且一直身体力行, 但没有说出孰高孰低。他认为, 这两种进程都为数学发展所必需, 互相切磋, 又互相补充。克莱因说得很对, 在教学与研究中, 采取哪一种进程, 视各人的学识素养与爱好而定, 也视整个数学发展的需要而定。
为什么牛顿特别倾向几何学？至少部分由于在牛顿的时代几何学最为成熟, 而且是人们（不只是牛顿）解决科学问题的最有力工具。牛顿以及他同时代的大科学家（还应加上伽利略）都是欧氏几何的高手。他的《原理》一书可以说是充满了求解“几何难题”的例子, 以致微积分的基本思想——略去高阶无穷小, 也时常隐藏在几何难题后面, 所以读起来很难得其三昧。说个笑话：如果你不能放开慧眼, 从几何与物理角度审视问题, 就难以看穿大千世界; 但是, 如果你这样做了, 立定足跟, 循此渐进, 自然能进入牛顿的不二法门——一种几何化的物理科学。
读者当然会问, 这样做利弊如何, 是有利于学生更深刻地理解数学概念、方法、理论的实质, 还是实际上在鼓励一种大而化之的空疏作风？这当然要看教学的实际情况而定。但是, 问题并不如此简单。例如在第5章里, 作者实际上宣布了, 一个解析函数序列只要收敛, 必可逐项求导。这当然是错了, 但是, 即使像柯西这样的大师, 也犯过类似错误。正是阿贝尔以及魏尔斯特拉斯等人按照进程A的要求正确地处理了这个问题, 否则就不会有今天的复分析。
至于译者, 在大多数问题上是尊重了原作者的处理, 但在这类问题上, 就不能简单、客气地说原书错了, 只好写一个比较长的脚注。这里并不是讨论数学方法论或教学论的合适地方, 但是应该指出, 并非所有数学概念、方法和理论都可以或者适合于可视化。进程B和进程A相辅相成甚至相反相成, 能不能说, 进程B帮助我们放开慧眼, 而进程A则让我们立定足跟？对于译者, 本书的启示在于, 数学书没有一个至高无上不得违抗的写法, 现今最流行的不一定是最好的, 更不一定是最适合你的。这就给学数学和教数学留下了广阔的创造空间。
Ⅱ
一个数学分支被认为是基本分支, 一门课程被认为是基础课, 有两个原因：首先它从其他分支吸取营养; 其次它又影响其他分支的发展或其他课程的教学。数学和其他极为广博的科学一样，虽然是一座高耸入云的伟大建筑, 必然有一些最为基础、影响又最为深远的思想和方法等, 这些可以说是其精华。基础课的教学有一个无可推卸的责任, 就是把这些精华交给学生。
为此, 按当前流行的做法, 就是开许多课程, 各司其职, 分兵把关。姑且不论多数学校有没有可能开这么多课程, 即使开设了, 也一定会助长各门课程孤立分离, 看不到数学作为一个整体是如何在发展, 有什么真正关键的问题。这也是进程A带来的副作用。因此, 解决之道, 在于从进程B找出路。
正如吴大任先生给克莱因的思想所做的概括：在融合二字上下功夫。下面看一下本书是怎样处理这个问题的。作者按照复分析发展的内在要求, 也按照自己的科学兴趣, 选择了三个问题, 使读者能从数学发展的整体来看待复分析, 引导读者走向更广阔的科学天地。
A. 几何学和非欧几何
什么是几何学？克莱因在他的《埃尔朗根纲领》里给出了回答：几何学所研究的就是几何图形在某类运动所成的群下面的不变性质。这本是每一个想学数学的大学生都应该了解的。遗憾的是, 绝大多数大学生也就只是知道这一句话而已。似乎多数大学里也找不到一门课认真地解释这个极其重要的思想（但是有不少大学为文科学生开设的“数学与文化”之类的课程里却简单地介绍了一下）。
原因可能在于, 现在我国多数大学数学系里, 几何教学很不恰当地被削弱了, 而一门几何课要能够认真地介绍《埃尔朗根纲领》, 必定有相当份量, 对教学两方面都是不轻的负担。
回到本书。作者感到遗憾地说, 由于篇幅的限制, 他不可能完全地介绍黎曼曲面的理论, 虽然他也很想这样做。这是很自然的, 因为这个理论确实超出了作为大学生基础课所能够容许的程度。但是本书最后三章的风格, 恐怕在其他数学教材（不止是复分析教材）是未曾见到过的。作者把复解析函数的概念与理想流体的流场、静电场以及温度场完全地融为一体。可能读者会问, 怎么能够要求一个数学的学生或老师知道那么多物理学呢？
作者说, 尽管你对于电场可能很生疏, 但是绝大多数人对于热和温度还是熟悉的。其实就静电场的理论而言, 本书并未超出高中物理学多少。问题的症结可能是, 学数学的时候总以为物理学是另一个天地, 是我们管不了的; 学物理的时候又很少想到, 这也是数学的用武之地。总之, 没有按照克莱因的进程B所要求的那样, 在数学和物理学的融合上花力气。请看本书, 讲的是一个解析函数, 也就如同在讲一个流场：它可能是源或者汇生成的, 也可能是一个偶极子或多极子生成的; 洛朗级数讲的无非就是把这些东西叠加起来, 正幂部分表示在无穷远处有源或者汇或者其他什么, 负幂部分表示有限远处有这些东西; 在某一个流场内放进例如一个单位圆盘, 或者另一个障碍物R，流场的变化就是由R的外域到单位圆盘的外域的共形映射。这样的变化当然是存在的, 这就意味着这个共形映射也是存在的。
当然我们还需要一个数学证明, 但是应该理解, 这个证明是对一个物理事实的数学说明, 而这个物理事实也就是对一个数学结论的物理说明。这已经十分引人入胜了, 而且还发现了许多原来以为并无联系的结果, 从双曲几何的视角来看原来是一回事。全书就结束在双曲几何的和弦的交响中。
如果要用几句话来说明这一大段文字的意思, 那就是：学了一门基础课, 就应该是打开了通向数学发展的主流的一扇门。可不可以说, 这正是本书最值得注意的特点呢？
推荐阅读
《复分析：可视化方法》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆
译者：齐民友
本书用一种真正不同寻常的、独具创造性的视角和可以看得见的论证方式解释初等复分析的理论，公开挑战当前占统治地位的纯符号逻辑推理。
本书是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路，十分便于读者理解，充分揭示了复分析的数学美。
《可视化微分几何和形式：一部五幕数学正剧》
作者：[美]特里斯坦·尼达姆（Tristan Needham）
译者：刘伟安
1.旧金山大学数学系教授，理学院副院长，牛津大学博士，与霍金齐名的诺奖得主罗杰·彭罗斯弟子特里斯坦·尼达姆经典巨作！
2.200多幅手绘示意图，将“微分几何”回归为“几何”，运用牛顿的几何方法对经典结果做出了几何解释。
3.原著豆瓣高达9.9分！被认为是“小说一般流畅的数学教材！”
4.译者为国内著名偏微分方程专家，武汉大学原校长齐民友老师弟子、武汉大学数学教授刘伟安老师。
《数学分析八讲（修订版）》
作者：［苏］А. Я. 辛钦
译者：王会林 齐民友
短短八讲，不仅让你了解数学分析的概貌，更让你领会数学分析的精髓。
这本由著名苏联数学家和数学教育家辛钦潜心编著的经典教材，思路清晰，引人入胜，全面梳理了数学分析的主要内容，涉及连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开以及微分方程等主题。
