Min25筛小结

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alpc_qleonardo 2022-08-25 10:55:23 ©著作权

文章标签 Min25筛数论线性筛质因子递推 文章分类 后端开发

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关于筛法，最近看到了很多，也尝试的学了一些。总的来说可以分为线性筛和亚线性筛。

所谓线性筛，就是可以在线性时间复杂度内求解的筛法。而亚线性筛则是时间复杂度更为优秀的筛法，通常时间复杂度可以达到小于线性时间，可以解决1e8~1e11范围内的问题。

关于亚线性筛，之前已经写过了杜教筛，但是个人感觉用到的地方确实不太多，而且比较难构造。而这次要讲的Min25筛则相对要求的条件更低，而且不需要构造新的数论函数。另外还有一种亚线性筛叫洲阁筛，与Min25筛类似。

首先要弄清楚Min25筛具体用在什么地方，有什么使用条件。一般来说，它可以求大部分的积性函数的和，即形如：

$\large \sum_{i=1}^nF(i)$

要求的条件是

$F(x),x\in Prime$

要能够用多项式表示，而且

$F(x^k),x\in Prime$

要能够快速计算。

Min25筛的大致思想，就是把这个结果分为两个部分（准确来说是三个部分），一个是i为质数的和，一个是i为合数的和，再加上i为1的函数值。那么，我们首先看如果求这个i为质数部分的和ans1。我们不妨设

$\large g(n,j)=\sum_{i=1}^nF(i)[i\in P\ or \ min(p)>P_j,p|i,p\in P\ ]$

也即g(n,j)表示从1累加到n的F(i)，其中的i要满足要么i自己是质数，要么i的最小质因子大于第j个质数。这样，显然有ans1等于g(n,|P|)。那么我们考虑如何去计算这个g(n,j)。

我们发现，当

P_j^2>n

时，最小质因子是

Min25筛小结_Min25筛_06

的最小合数就是

Min25筛小结_质因子_07

，而

P_j^2>n

，所以此时有

Min25筛小结_Min25筛_09

。当

Min25筛小结_数论_10

时，我们考虑从g(n,j-1)转移到g(n,j)时少了什么东西，显然少了的就是最小质因子恰好是

Min25筛小结_递推_11

的和，所以要把这一部分给减去。还是考虑用g(x,y)来表示这一部分的结果，于是有：

$\large g(n,j)=g(n,j-1)-F(P_j)[g(\frac{n}{P_{j}},j-1)-g(P_j-1,j-1)]$

总的来说减去的部分本身也是两个部分，首先是要把

Min25筛小结_数论_13

这个最小质因子提出来，那么剩下的和就是

$g(\frac{n}{P_{j}},j-1)$

，但是这个里面还是包含了那些最小质因子小于

的部分，而我们要求的是最小质因子恰好是

Min25筛小结_数论_15

的和，所以还要减去最小质因子小于

Min25筛小结_数论_16

的部分，这就是

$g(P_{j}-1,j-1)$

。

这样一来g(n,j)总的递推公式就是：

$\dpi{120} \large g(n,j)= \begin{cases} g(n,j-1) & P_j^2 > n \\ g(n,j-1)-F(P_j)[g(n/P_j,j-1)-g(P_j-1,j-1)] & P_j^2\le n \end{cases}$

对于这个递推公式，

$g(P_{j}-1,j-1)$

显然等于

$\sum_{i=1}^{j-1}F(P_i)$

这个j的个数不会很多。而

$\frac{n}{P_j}$

最多只有

$2\sqrt{N}$

个取值，我们同样可以很快的求解。可以证明这里的复杂度不会很高。然后这里递推的起点是g(n,0)，这个含义就是相当于把所有的数字当作质数，然后求

$\sum_{i=1}^nF(i)$

要注意这里的求和与我们要做的最终答案的区别。这里其实是相当于

$\sum_{i=1}^nF'(i)$

，因为我是把所有的数字当作了质数。更具体的说，作为积性函数，F(i)的表达式肯定是分段的，如果i是质数，那么会有一个通项公式，如果是合数，那么可以是各个质因子的乘积。这里把所有的数字当作质数就是把所用的数字去套i为质数时的通项公式再求和，这个求和一般都能手动化简为另一个通项公式作为递推的起点。更加深入的理解这个过程，我们可以这样子理解。一开始，我是把所有的数字当作质数，然后后面j的循环，相当于一步步的从小到大把其他质数筛掉，和普通的埃氏筛类似，都是只需要筛到

$\sqrt{N}$