Wonderful

For an integer n, we call k>=2 a wonderful base of n, ifall digits of n base k are 1.

Now given a string representing n, you should return the smallest goodbase of n in string format.

Example 1:

Input: "13"

Output: "3"

Explanation: 13 base 3is 111.

Example 2:

Input: "4681"

Output: "8"

Explanation: 4681 base8 is 11111.

Example 3:

Input:"1000000000000000000"

Output:"999999999999999999"

Explanation:1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.

Note:

  1. The range of n is [3, 10^18].
  2. The string representing n is always valid and will not have leading zeros.


        校赛就这么结束了，虽说带病参赛，但还是情理之中拿了个第一……

        题目虽然不难，但是其中也暴露出了很多问题。可能是状态原因或者是什么别的，反正好几道题目思路完全正确，但是却是错了很多次才A了，导致罚时特别多……

        除此之外这次比赛中我们的破题速度还是很值的肯定的，在比较短的时间内就几乎把所有题目的算法预料到了。但还是那个不稳的问题，有两到模拟题没有做，还有一个二分答案怎么也a不过……

        不管怎么说，都已经过去了，积累经验吧，至少我们这次没有死磕一道题目，哪一道题目WA了一时没发现错误，就先发现做下一道题。当然了，前提是要有题可作。西安的regional邀请赛应该是稳去了，至于成绩的话还是不敢抱太大希望，但是怎么说要保铜争银吧……剩下的时间一起加油吧……生病也不能停止写代码……

        现在来说说这道题吧，刚刚和学长确认了，不是原创题，但还是不得不赞一下选题人，弄了这么一道有意思的题目。可以说做题的过程真的是一波三折，挫折此起彼伏啊。首先，看到这题第一反应肯定是要用二分答案的，但是二分的前提是要有单调性。数字n分成某一个进制后，在该进制底下所有位都是1，很显然，当进制和位数确定后，可以加权求得一个数字，将这个数字与n比较。这个加权和就是等比数列的和，在最开始的阶段，我们选择用求和公式来表示。这样就有这样一个方程n=(q^(k+1)-1)/(q-1)。只要求这个方程的解即可，其中q为进制，k为位数。于是我开始寻找单调性，我运用了求导、放缩甚至泰勒展开都想到了，但是还是无法找到单调性，因为这个k其实也是一个关于x的函数，而且它是离散的。

        你可能觉得好像已经没辙了（我当时也几乎绝望），突然灵感一来，如果k固定为常数的话，那么这个q是否就有单调性呢？简单求导后发现当k>=2时，方程右边的函数确实是单调递增的。然后发现k的取值范围恰好是[2,log(N)]，完美的符合。于是开始敲代码啦……但是敲完之后发现小数据可以过，但是大数据却过不了。又经过一番纠结之后，我发现，当进制比较大的时候求等比数列和的时候会超过算术上限。于是加了一个特判，当n在某个进制下的位数达不到二分要求的位数的时候，不计算和，直接返回偏大。这样看似把大的样例给过了，但是交上去还是WA。于是开始意志的考验了，这道题被放在一边，队友开始码下一题，然而我苦苦寻找着错误。我开始自己构造数据，小的进制都没有问题，当我构造了一个1e8进制的数字的时候，代码开始错了。最后发现，是等比数列求和公式的问题，根据方程n=(q^(k+1)-1)/(q-1)，当q=1e8的时候，k最小取2，那么k+1就是等于3了，1e8^3当然超过算数上限了。错误就在于用了求和公式，如果裸的直接求和最高次就只有q^2，这个在可接受的范围之内不会超上限。

        最后就是一些细节上的东西了，pow的话，当返回结果比较大的时候会出现误差，所以求次方的时候最好也是人工计算。复杂度的话大概是O(logNlogNlogN)，枚举klogN，二分进制logN，计算等比数列和logN。再加上Kase，也几乎刚好在可承受范围内。到后面发现那个检查n在相应进制下的位数那个特判好像可以删掉。具体代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iomanip>

using namespace std;

unsigned long long n,l,r,mid;

int bit(unsigned long long m,int k)
{
  int p=0;
  while (m) {p++; m/=k;}
  return p;
}

unsigned long long f(unsigned long long x,int k)  //计算等比数列和
{
  if (x!=1&&bit(n,x)<k) return n*n;    //现在发现好像没有什么用
  unsigned long long ret=0,m=1;
  for(int i=0;i<k;i++)
  {
    ret+=m; m*=x;        //直接用pow会错而且好像更慢
  }
  return ret; 
}

int main()
{
  while(cin>>n)
  {
    int p=bit(n,2);
    bool flag=0;
    for(int i=p;i>1&&!flag;i--)      //枚举位数i，要求进制小的优先，故位数从最多开始枚举
    {
      l=2,r=n;
      while (l<=r)        //二分进制
      {
        mid=(l+r)>>1;
        unsigned long long y=f(mid,i);
        if (y==n) {cout<<mid<<endl;flag=1;break;}
        else if (y>n) r=mid-1;
        else if (y<n) l=mid+1;
      }
    }
    if (!flag) cout<<n-1<<endl;
  }
  return 0;
}