四元素

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wx62fc501145180 2022-08-17 10:48:28

1、用四元素表达三维的旋转与使用矩阵相比具有两个优点：第一，几何意义明确；第二，计算简单。因此，四元素在数学、物理学和计算机图形学中具有很高的应用价值。

2、二维平面上的旋转可以用复数来表达，三维空间中的旋转则可以用四元素来表达。用四元素表达三维的旋转与使用矩阵先比有以上两个优点。此外，四元素代数还涵盖了矢量代数、实数、复数和矢量都可以看作是四元素的特列，可以在一个统一的体系中进行运算。

3、四元素的源和流

1）四元素的起源：四元素起源于寻找复数的三维对应物。复数可以表达一个二维矢量，当处理不共面的多个矢量时，需要用新的数来表达一个三维矢量。1843年哈密顿（Hamilton）发明了四元素，这是一种形如A=a0+a1i+a2j+a3k的数，i,j,k满足他们的平方为-1，ij=-ji=k,jk=-kj=i,ik=-ki=-j.这一新数包含4个分量，并且不满足乘法的交换律。哈密顿给出了四元素的加法、乘法规则以及四元素的逆和模，指出四元素能通过旋转、伸长或缩短将一个给定的矢量变成另一个矢量。同年，格拉斯曼(Grassmann)定义了形如a=a1e1+a2e2+a3e3的超复数，并研究了它的n维情形。他定义了超复数的内积和外积，并给出集合意义，但在乘积中二阶单元eiej（一阶单元的乘积）未被简化成一阶单元。结合后来的著述中可以看出他的研究思路还是线性代数，线性代数中的许多基本概念就是他提出的。在1855年的1篇文章中他定义了16种不同类型的乘积，给出了这些乘积的几何意义，并应用于力学、磁学、晶体学。

2)、四元素的发展。麦克斯韦(Maxwell)将四元素的数量部分和矢量部分分开，作为实体处理，作了大量的矢量分析、三维矢量分析的建立，及同四元素的正式分裂是18世纪80年代由Gibbs和H额aviside独立完成的。矢量代数被推广到矢量函数和矢量微积分。由此开始了四元素和矢量分析的争论，总重矢量分析占了上风。从纯粹代数的观点看，四元素是令人兴奋的，因为它提供了一个除了乘法的交换律外，具有实数和复数性质的例子。后来许多超复数系统被大量地创造出来。例如Galey给出了八元素，x=x0+x1e1+...+x7e7,其中ei的平方为-1，eiej=-ejei(i不等于j)，e1e2=e3，e1e4=e5,e1e6=e7,e2e5=e7,e2e4=-e6,e3e4=e7,e3e5=e6,这种八元素的乘法结合律不是一般的成立。Hamilton在<四元素讲义>中还引进了拟四元素，即带有复系数的四元素，指出此时乘积定律不成立，即两个非零的拟四元素相乘可以得零。Clifford创立了另一类超复数。。。。

3)历史上矢量是从四元素中分离出来的，并由此发展为广泛使用的矢量代数和矢量分析，但矢量的点乘和叉乘不是可结合的，也不是可除的。现在反过来把矢量代数和矢量分析的内容纳入到四元素的体系中，这使得矢量仍可用四元素的方法来处理。同时四元素还具有处理旋转的优势，是一个封闭的数系。

3、四元素的定义

代数概念：域F上的一个矢量空间V叫做域F上的代数，如果除数乘、加法外还定义乘法，则运算满足一下关系：

1）a(b+c)=ab+bc.(b+c)a=ba+ca,任意a,b,c属于V；

2）λ(ab)=(λa)b=a(λb)，任意a，b属于V，任意λ属于F。

如果V是F上的有限维空间，称V为F上的有限维代数；如果乘法满足结合律，即(ab)c=a(bc),称V为结合代数；如果e属于V，使得ea=ae=a,任意a属于V，且对任意0不等于a属于V，存在唯一的b属于V，使得ab=ba=e，称V为可除代数。

实数是一维结合代数，复数是二维结合代数，四元素是四维结合代数。

以i1、i2、i3代替i，j，k表示四元素的基元，四元素的一般形式为

A = a0+a1i1+a2i2+a3i3,(a0,a1,a2,a3为实数)

基元i1，i2，,i3的运算规则为

i1i2=i3，i2i3=i1，i3i1=i2，

ikl=-ilk(l不等于k)